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Wegen 14M hat man nämlich 
M — M', 
wo mit J auch ® eine endliche Menge ist. Hieraus und aus 
N —®N folgt weiter 
(M‚N) ~ (M'N). 
Wir unterscheiden nun, ob M eine endliche oder unendliche 
Menge ist. Im ersten -Fall sind (9, N) und (M,R) endliche Mengen, 
ferner ist (M,R) Teilmenge von (MN, ®) und daher ist gemäss § 4, 4 
(MN) B (MM). 
Ist aber M eine unendliche Menge, so ist (,N) nach § 4, 8 
ebenfalls eine unendliche Menge; dagegen ist (M',M) nach § 4, 12 
endlich und daher gilt ebenfalls (§ 4, 7) 
(‚RV 6 CM, WV). 
Wegen 2’ ~ M, N — N folgt daraus weiter 
(M‚ N) b (M,N). 
In den andern Fällen lassen sich eindeutige Folgerungen nicht 
entnehmen. Nur soviel sei bemerkt, dass mit den Relationen 
MaM und NOR 
jede der beiden Beziehungen 
(ML, Na (M,R) und (MZ, N) 6 AN, N) 
vertraglich ist. 
§ 7. Schlussbetrachtung. 
Die vorstehende Untersuchung liefert jedenfalls ein hinreichendes 
Axiomensystem fiir die Sätze, die die Aequivalenzprobleme der 
Mengen betreffen. Wird fiir den Augenblick noch die Bezeichnung 
Me N fiir die Aequivalenz von M und N eingeführt, so handelt es 
sich genauer gesprochen, um die Kombination der Beziehungen, 
die durch 
MaN, MbN, McN MaN, MeN, MfN, MtN,(M, N) 
dargestellt sind, und um die Art, wie sie assoziativ einander bedingen 
und sich mit einander verbinden. Ob die aufgestellten Axiome sämt- 
lich notwendig sind oder auch enthehrliche Bestandteile enthalten, 
mag offen bleiben. Abgesehen von den Axiomen mehr formaler 
Bedeutung, wie die über Me N, Wf N, Mt N sind es wesentlich die 
folgenden, die die materiellen Stiitzen des Aufbaues darstellen: Das 
Axiom der Verkniipfung, die Axiome über die Aequivalenz der 
Teilmengen und der Verbindungsmengen, die Axiome iiber die Nicht- 
aequivalenz der Verbindungsmengen nicht aequivalenter Mengen und 
