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das Axiom über die Aequivalenz endlicher Mengen. Die Characteri- 
sirung, die in diesen Bezeichnungen enthalten ist, zeigt schon die 
Verschiedenheit der Gebiete, denen sie angehören, und zeigt auch 
ihre allgemeine Notwendigkeit fiir den Aufbau. 
Wie bereits in der Kinleitung erwähnt, ist die vorstehende Betrach- 
tung zugleich eine Axiomatik der Grössenlehre; in der Tat ist ja von 
den Elementen der Menge nirgends die Rede. Dies ist auch die 
Tatsache, die dem in § 3 gefundenen Resultat seine Stellung im 
axiomatischen Aufbau anweist. Wir fanden dort, dass mit den 
Beziehungen Md N und Nd P auch die Folgerung Ma P verträg- 
lich ist. Sie könnte deshalb an sich ebenfalls als axiomatische Fest- 
setzung an Stelle des Axioms II eingeführt werden. Wie wir sahen, 
bewirkt sie als weitere Folgerung, dass aus Ma P und Pd N sich 
Md WN ergiebt, und liefert ebenfalls ein in sich widerspruchsfreies 
System von Beziehungen. Es liess sich durch die Formeln 
(@a)i= did) tar (ad) dad 
darstellen. 
Dies wollen wir nun deuten. Zunächst ist zu beachten, dass in die 
vorstehenden Schlüsse die Beziehungen M5 N und Me N nicht eingehen, 
dass es sich bei ihnen vielmehr nur um M/a N und Md N und deren 
Kombinationen handelt. Nur auf sie beziehen sich also die obigen Regeln 
und auf sie beschränke ich mich zunächst. Die Aufgabe ist dann, 
Objecte mit Grössencharacter zu finden, die sich diesen Regeln fügen. 
Die in $ 3 erwähnte Analogie mit den Vorzeichenregein macht dies 
leicht. Man erreicht es, indem man entgegengesetzte Grössen in 
Betracht zieht, deren Teile zum Ganzen in der durch (a) festgelegten 
Beziehung stehen, also der Dedekindschen Definition genügen; die 
Beziehung Ma N gilt dann für gleichartige, dagegen Md N für 
entgegengesetzte Objecte. Einseitig begrenzte Geraden von unend- 
licher Länge aber entgegengesetzter Richtung bilden ein einfaches 
Beispiel, falls man als Teilmenge jeden ebenfalls unendlichen Bestand- 
teil betrachtet und die Aequivalenz z. B. durch eineindeutige Aehn- 
lichkeitsabbildung definirt. Für je zwei von ihnen besteht dann 
entweder die Relation (a) oder (d). 
Man kann leicht erreichen, dass auch die Beziehungen (6) und (c) auf- 
treten. Dies geschieht so, dass man auch Paare entgegengesetzt 
gerichteter Geraden als Objecte zulässt. Für je zwei solche Paare 
besteht dann die Beziehung (a), für jedes Paar und eine einzelne 
Gerade die Beziehung (6) oder (c), und für je zwei einzelne Geraden 
die Beziehung (a) oder (d). Die Gesetze 
(aa) =(dd)=a, (ad) =(da)=d 
