809 
bleiben offenbar bestehen. Beziehungen (bb), (bd), (de), und (ee) sind 
unmöglieh. Dagegen giebt es hier eine Regel für (6c); es kann sowol 
(a) wie (d) resultieren. Endlich ergeben die Beziehungen 
(ab) (ba) (db), (ac) (ca) (cd) 
(b) oder (c) als Resultat. 
Die Tatsache, dass die Cantorsche Theorie die Unvereinbarkeit 
der Annahme, Mund N seien unendliche Mengen, mit der Beziehung 
Md N des §3 nicht nachtzuweisen vermochte, erfährt hierdurch 
neues Licht. Denn die Zulassung von Elementen von zweierlei Art, 
die einander entgegengesetzt sind, streitet weder gegen den Mengen- 
begriff als solehen, noch auch gegen die Dedekindsche Definition 
der unendlichen Mengen und die auf ihr ruhenden Eigenschaften. 
Fúr den so erweiterten Mengenbegriff kann aber, wie wir sahen, im 
Fall unendlicher Mengen auch die Beziehung Md N realisiert sein. 
Wie weit sich auf solche Mengen die weiteren Begriffe und Sätze 
der Cantorschen Theorie übertragen lassen, mag an dieser Stelle 
auf sich beruhen bleiben. 
Nur das sei noch erwähnt, dass die allgemeine Weiterführung 
der bisher gefundenen Resultate in erster Linie die Beziehung der 
Menge zu ibren Elementen, ferner den Ordnungsbegriff u.s.w. ins 
Auge zu fassen hat. Ich will noch kurz zeigen, wie man die Elemente 
der Menge auf der hier vorhandenen Grundlage einführen kann. 
Voranzustellen ist das folgende Axiom: 
1. Jede Menge enthült Teilmengen, die nicht ohn selbst in Teil- 
mengen zerlegbar sind; sie heissen unzerlegbare Teilmengen oder 
Elemente. Sie sollen durch 
m TM oder kürzer durch m 
bezeichnet werden. Von ihnen gilt der Satz: 
Ist M — N, so kann eine nicht zerlegbare Teilmenge von M/ keiner 
zerlegbaren Teilmenge von NV aequivalent sein und umgekehrt. 
Aus der Aequivalenz M= WN folgt nämlich nach Axiom Ivon $ 3 
zu jedem M’ die Existenz einer Teilmenge N’ von JN, so dass 
M' == N' 
ist. Würde nun m= M’ ein zerlegbares N’ bedingen und wäre 
N' eine Teilmenge von N’, so folgt aus M’ ~ N’ gemäss demselben 
Axiom, dass N” die Existenz einer Teilmenge von m bedingt, die 
zu N' aequivalent ist; was aber einen Widerspruch darstellt. 
Von diesem Tatbestand kann man nun wieder verlangen, dass 
er auch umgekehrt gilt; d. h. man kann fordern: 
Il. Zwei Mengen M und N sind aequivalent, wenn jedem Element 
von M ein Element von N zugehört und umgekehrt. 
