Mathematics. — ‘Ueber eineindeutige, stetige Transformationen von 
Fliichen in sich”. (Sechste Mitteilung*)). By Prof. L. E. J. 
BROUWER. 
(Communicated at the meeting of March 27, 1920). 
Die in der fiinften Mitteilung über diesen Gegenstand für die Kugel 
ausgeführte Au/fzdhlung aller Transformationsklassen wird hier für 
die projektive Ebene erbracht werden. 
Sei ¢ eine eindeutige stetige Transformation der projektiven Ebene 
a in sich, £ eine einseitige einfache geschlossene Kurve von zr, h 
die Verdoppelung von 4, G das in x von h umschlossene zweiseitige 
Gebiet, &’ das Bild von & für ¢. Wir werden ¢ erster oder zweiter 
Art nennen, je nachdem 4’ einseitig oder zweiseitig ist. Hine Trans- 
formation erster und eine zweiter Art können offenbar niemals 
derselben Klasse angehören. 
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§ 1. Die Transformationsklassen erster Art. 
Sei 7’ eine der beiden durch ¢ bestimmten Abbildungen von 
G+h auf die zweiseitige Verdoppelung 3 von 2, G’ baw. h’ das 
Bild von G bzw. h für 7, / der Inhalt von 8 für eine bestimmte 
elliptische Massbestimmung in a. Alsdann ist, wenn wir G und @ 
mit passenden Indikatrizen versehen, der Inhalt einer willkiirlichen 
A sue ay Ze : 
simplizialen Approximierung von G’ gleich ——— J, wo n eine nicht- 
negative ganze Zahl ist, welche wir den Grad von ¢ nennen werden. 
Alle Transformationen erster Art, welche derselben Klasse angehören, 
besitzen offenbar denselben Grad. 
Um auch die umgekehrte Eigenschaft zu beweisen, werden wir 
zwei Methoden angeben, von denen die erste vom Resultate der 
fiinften Mitteilung über diesen Gegenstand Gebrauch macht, die 
zweite dem Beweisgange dieser Mitteilung parallel läuft. 
Erste Methode. Wir konstruieren in G eine einfache geschlossene 
Kurve 7, und eine innerhalb 7, gelegene einfache geschlossene Kurve 
r,, und bezeichnen das Innengebiet von 7, met (,, das Zwischen- 
gebiet von 7, und 7, mit G,, das Zwischengebiet von 7, und / mit 
') Vgl. diese Proceedings XI, S. 788; XII, S. 286; XIII, S. 767; XIV, S, 300; 
XV, S. 352 (1909—1912). 
