814 
folgt aus dem Resultate der fiinften Mitteilung über diesen Gegen- 
stand unmittelbar, dass alle einfachen in k kontrahierten Trans for- 
mationen derselben Parität zur selben Klasse gehören. 
Eine beliebige Transformation t zweiter Art lässt sich aber durch 
stetige Modifizierung in die Form einer einfachen in & kontrahierten 
Transformation bringen: um dies zu bewerkstelligen, formen wir sie 
zunächst in eine in & kontrahierte Transformation um, wobei also 
h’ sich auf einen einzigen Punkt P reduziert und 8 für 7’ von 6 
mit einem gewissen Grade m iiberdeckt wird, und modifizieren 
sodann ¢ in solcher Weise weiter, dass h’ der Reihe nach alle Lagen 
von zweimal durehlaufenen, durch P und den Gegenpunkt Q von 
P als Pole bestimmten Breitekreisen erhält, und sich schliesslich in 
Q zusammenzieht. In diesem Augenblicke wird 8 für 7’ von @ ent- 
weder mit dem Grade m + 2 oder mit dem Grade m—2 iiberdeckt: 
durch geeignete Einrichtung des Verfahrens können wir dafür sorgen, 
dass ein beliebig gewählter dieser beiden Werte erreicht wird. 
Hieraus folgt, dass wir durch passende Wiederholung desselben 
Prozesses ¢ in eine einfache in & kontrahierte Transformation über- 
führen können. Mithin gehören alle Transformationen zweiter Art 
derselben Paritüt zur selben Klasse. 
§ 3. Die Minimalzahlen der Fixpunkte. 
Weil einer eindeutigen stetigen Transformation von = in sich zwei 
eindeutige stetige Transformationen von 8 in sich entsprechen, welche 
nicht beide den Grad —1 besitzen, mithin nicht beide fixpunktfrei 
sein können), so besitzt eine eindeutige stetige Transformation der 
projektiven Ebene x in sich wenigstens einen Fixpunkt. 
Dass andrerseits fiir keine Transformationsklasse von x die Minimal 
zahl der Fixpunkte mehr als 1 betrigt*), erhellt aus der folgenden 
Transformation erster Art ne? Grades: 
ig w’ = tg + cos p 
gp = (An +1) gp, 
wo mit p und w Lange und Breite auf 8 bezeichnet werden, und 
aus der folgenden geraden bzw. ungeraden Transformation zweiter Art: 
p' == p 
wo’ =0 bzw. wo’ = 20, 
wo mit p und w Lange und Polabstand auf p bezeichnet werden. 
1) Vel. Math. Annalen 71, S. 114. 
2) Wegen der Beantwortung der analogen Frage für die Kugel und die beiden 
Ringflächen vgl. meine demnächst im Anschluss an einen Aufsatz von J, NIELSEN 
in Math. Annalen 81 erscheinende Notiz: , Ueber die Minimalzahl der Fixpunkte 
bei den Klassen von eindeutigen stetigen Transformationen der Ringflächen”. 
