Mathematics. — “Sur les ensembles clairsemés.” By Prof. ARNAUD 
Densoy. (Communicated by Prof. L. E. J. Brouwer). 
(Communicated at the meeting of March 27, 1920). 
Selon une définition que j'ai proposée, (Journal de Math. pures et 
appliquées, 1916), je dis qu'un ensemble est clairseme quand il est 
non dense sur tout ensemble parfait. 
Soit £ un ensemble queleonque, Z, l'ensemble des points de ZE 
qui sont limites a Z. Soit a un nombre ordinal queleonque. Si « 
est de première espèce, soit F, l'ensemble des points de ZE, ; qui 
sont limites a #,_,. Si « est de seconde espèce, soit Z, l'ensemble 
des points communs a tous les #,, de rang inférieur a «. Chacun 
des H, contient tous les ensembles suivants. Je dis que tous les Z, 
sont nuls ou coincident à partir d'un certain rang de «. 
En effet £,4, est l'ensemble commun a Z, et a son dérivé E’,. 
Done l'ensemble £’, contenant Mp, contient tous les ensembles 
HE, d'indiees 2 supérieurs a «. Comme E’, est fermé, EL’, contient 
tous les ensembles £’; si A >a. Done, dapres un théoreme connu, 
il existe un rang 8 tel que H's > H’s, si Bp’ <8, et tel que 
Bie Ei, ,) =. -. Ey élant situé dans EH’, pour 2>>«, E’; est situé 
dans le dérivé H", de E’,. Done, si E’3 n'est pas nul, W's est 
parfait, puisqu’il coincide avec un ensemble E's, contenu dans 
son dérivé W's Dans ce cas, Pipi, situé sur W's et ayant pour 
dérivé HH’; lui-même, Ez, est partout dense sur “’3. H244, que 
nous désignons par Ff, est dense en lui-même et a pour dérivé 
Pensemble parfait 4”; ou P. 
Si E's est nul, Hz a un nombre limité de points, ou est nul. En 
tous cas, Easy, est nul. 
Soit P, un ensemble parfait sur lequel # est partout dense, et H 
Pensemble commun a P, et a #. H est dans E, et, de proche en 
proche, dans Z, quelque soit «, done dans He+1, donc, le dérivé 
de H, soit P,, est dans P, dérivé de Hay. Si done Es, est nul, 
E est non dense sur tout ensemble parfait. Si Ea n'est pas nul, 
soit G l'ensemble des points de / qui ne font pas partie de #. 
l'ensemble G, est contenu dans ZE, quelque soit «. Done, Gan est 
dans Bay, done dans #, mais Gap, est aussi dans G. Comme G 
est distinct de #, G244 est nul. Done. G est chuirseme. 
Tout ensemble est done la réunion d'un ensemble dense en lui-méme 
