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et d'un ensemble clairsemé, proposition dont on trouvera une autre 
démonstration dans le mémoire rappelé plus haut. 
Il nous sera commode, avant d’aller pour loin, de considérer la 
famille d’ensembles fermés A, ainsi définie. Si « est de première 
espèce, KA, est identique a A’,;. Si a est de seconde espèce, K, 
est l’ensemble commun a tous les ensembles K,, d’indice a’ infé- 
rieur a «. 
Nous désignons la totalité de l'espace par K,, et # facultativement 
par £,. Je dis que Ex est l'ensemble commun à E et à K,,. 
Pour a—=1, K, est le dérivé de EZ, ensemble identique a Z, et 
EB, est bien l'ensemble commun a £ et a K,. Supposons la propo- 
sition vraie pour @’ <a, et montrons-la pour a. Si « est de premiere 
espèce, alors par définition, d'une part K, est le dérivé de ZE, 
d'autre part, Z, est l'ensemble commun a ME, 4 et a son dérivé, 
done a E£,4 et a Ka. Or, par hypothèse, ZE, est l'ensemble 
commun a EZ et a K, 4. Done, EZ, est l'ensemble commun a Z, 
a K,, et a K,. K, étant le dérivé de Z,-;, contenu par hypothèse 
dans l'ensemble fermé K,_,, K, est contenu dans K,_,;. Done, E, est 
ensemble commun a £ et a XK. 
Si a est de seconde espèce, Z, est par définition l'ensemble commun 
à tous les £, d’indices inférieurs à «a, done d’apres notre hypothèse, 
E, est ensemble commun a £ et a tous les K,; done, a Z et a 
k,, si K, est l'ensemble commun aux K,;. La propriété est done 
démontrée dans tous les cas. 
Dans le cas où E's existe, pour §’< 8, avec E's = 0, alors Ke 
existe et Kz,; est nul. Si 6 est de première espèce, faisons 
B = p—1. Kg existe. Si 3 est de seconde espèce, comme tous les 
Ky existent, il en est de même de Ks. Donc si Z est clairsemé, 
il existe un nombre # tel que Kz existe, EZ possédant sur Kz un 
nombre fini ou nul de points. 
Nous allons donner une propriété caractéristique des ensembles 
elairsemés, propriété qui montrera le parti qu’ils offrent dans les 
applications 4 la théorie des fonctions. 
Théorème. — La condition nécessaire et suffisante pour qu'il soit 
possible d'affecter à chaque point M dun ensemble E, un ensemble 
propre IM) auquel M soit intérieur, de manibre qwaucun point de 
espace ne soit intérieur à une infinité d'ensembles I(M), est que 
l'ensemble E soit clairsemé. 
1’ La condition est nécessaire. En effet, si Z n’est pas clairsemé, 
il contient un ensemble dense en lui-même #. Soit P le dérivé de 
F. Pest parfait. Tout point M, de F est intérieur à un ensemble 
IM). On sait alors qu’il existe un ensemble MR partout dense sur 
