884 
P et dont chaque point est intérieur à une infinité de /(M,) (voir le 
mémoire cité plus haut). Le complémentaire de FR relativement a P 
est formé par la réunion d’une infinité dénombrable d’ensembles non 
denses sur P. FR est ce que j'ai proposé d’appeler un résiduel de P. 
La condition énoncée est done nécessaire. 
2°. La condition est suffisante. Supposons que E soit clairsemé. 
FE’ est done dénombrable. Car, l'ensemble Q des points au voisinage 
desquels un ensemble D est non dénombrable, est parfait, et D est 
partout dense sur Q. Cela posé, nous envisageons pour un point 
queleonque J/ de H, deux sortes de rangs. D'abord, U étant dénom- 
brable, nous pouvons attribuer a M/ un rang entier propre n. D'autre 
part, dans la suite des erisembles /, , formée comme il a été expliqué, 
considérons ceux de ces ensembles qui ne contiennent pas M. L’un 
d’eux a un rang inférieur a tous les autres, soit y ce rang. y ne peut 
pas etre un nombre de seconde espèce. Car M, étant situé dans ZE, 
quelque soit y’ << y, serait dans W,, si y était de seconde espèce. On 
peut done poser y= d 1. M est dans £3, mais non pas dans Zi. 
Done, M est dans ME; mais n'en est pas point limite. M/ est un 
point isolé de Zj. Cela étant, y(n) étant une fonction quelconque 
de n tendant vers O quand n ecroît, nous prenons pour ZM) un 
intervalle ou cercle ou sphere,... ayant pour centre J/ et un 
rayon r(M) inférieur d'une part a p(n), d'autre part a la distance 
de M à == Kan. 
Je dis qu'un point queleonque N de l'espace n'est intérieur qu’a 
un nombre limité d’ensembles /(J/). En effet, si N était intérieur 
a une infinite de tels ensembles /(M), soient MD, M®,..., MW, 
les centres de ces ensembles, d,,d,,.. … Ons ... les ordres analogues 
a Ò correspondant a ces divers points, 7,,”,,...7,,... leurs rangs 
tify 
dans le premier classement des J/ en série unilinéaire, et enfin 
rp le rayon de J[{J/%)). Puisque les n, sont .distinets, n, croît 
indéfiniment avec p, done 7, << g(m) tend vers 0, done N est point 
limite des M). 
Parmi les nombres transfinis d,, il y en a au moins un, soit J, 
auquel nul autre n’est inférieur. On a dp >9 pour toute valeur de 
p, Végalité étant réalisée pour au moins une valeur de p. Done, 
au moins un point M; de £; est dans la suite MM»). D'ailleurs Es 
contient Es, done MP, quelque soit p. Done, MN est un point limite 
de Es Mais ceci est impossible, puisque /M;) contiendrait N et 
que, par hypothèse /(Ms) ne contient aucun point de £’s. La con- 
dition est done suffisante. 
Soit A un ensemble fermé. Supposons d’abord que H n’ait pas 
EE nd denn dc de 
