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de point commun avec K, — £’. Alors, il n’y a évidemment qu’un 
nombre fini d’ensembles /(J/) contenant à leur intérieur au moins 
un point de H. On voit en effet comme ci-dessus, que si ces points 
étaient en infinité, chacun de leurs points limites serait sur H, 
puisqu’il n’y a qu'un nombre limité d’ensembles /(J/) dont le rayon 
surpasse un nombre positif donné. Si done H est distinct de Z/ 
dérivé de £, nous aboutissons a une contradiction. 
Plus généralement, st ensemble fermé H est situ sur Kz et sil 
na pas de point commun avec K,44, il n'ewiste qu'un nombre limité 
d'ensembles I(M) contenant à leur intérieur au moins un point de H. 
En effet, si 8<a, a tout point M de Hz correspond un ensemble 
1(M) sans points communs avec H, puisque /(J/) n'a pas de point 
commun avec H’;= Ka, qui contient A, et par suite H. Done, 
les seuls points M/ dont les ensembles / (J/) peuvent contenir au 
moins un point de H sont les points M de H,. Comme H est sans 
point commun avec K,4,; dérivé de £,, nous sommes ramenés au 
premier cas. L’extension du théorème est démontrée. 
Voici une application de la proposition ci-dessus a la théorie 
des fonctions. Désignons par f(M) une fonction des coordonnées 
z,y,-..u d'un point M de lespace, et par f(M—M,) la fonetion 
f(a, y—Yo,--, U—u,). Soit f,( MW) une fonction bornée à Pextd- 
rieur de toute sphere ayant pour centre l’origine O des coordonnées, 
et telle que | fn(M)| croit indéfiniment quand M tend indif/éremment 
vers 0 (sans coincider avec 0). Alors: 
La condition nécessaire et suffisante pour qwil existe des coef ficients 
a, indépendants de M et tels que la série af, (M—M,) soit partout 
convergente, est que l'ensemble M, soit clairsemé. \ 
La condition est nécessaire. En effet, si l'ensemble Z des points 
H,, west pas clairsemé, supposons donnée une suite quelconque de 
coefficients a, D’aprés lim| f,(M)|=o quand M tend indifférem- 
ment vers 0, „ restant invariable, il existe une sphère ayant son 
v 
Lean’ ; 1 
centre a l'origine et en tout point de laquelle | f, (M) | > lel Soit 
Cn 
1’ le rayon de cette sphere. Entourons M, d'une sphere /'; de rayon 
r;. L'ensemble M, n’étant pas clairsemé, il y a des points de 
Vespace intérieurs à une infinité de sphères /',, Pour chacun de ces 
points .V, la série «, f,(N—WM,) est divergente comme ayant une 
infinité de termes supérieurs 4 1 en valeur absolue. 
La condition est suffisante. En effet, si EW est clairsemé, nous 
pouvons autour de M, déerire une sphère /, de centre M, et de 
rayon 7, telle que tout point de l'espace ne soit intérieur qu’à un 
