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nombre fini de spheres /,. Soit, hors de la sphere de centre 0 et 
de rayon r,, u, le maximum de | f, (M) |. uw, existe, puisque par 
hypothèse | 7,(J/)| est borné a l’extérieur de toute sphere ayant 
son centre a lorigine. Soit @, un nombre quelconque inférieur en 
module a 
= La série @nfn(M—M,) converge en tout point 
Nn Un 
M, n’ayant qu’un nombre limité de termes supérieurs en 
M, comme n’ayant qu’ ombre limité de t ss 
A , . 1 
module aux termes de même rangs de la série —. 
n 
On montre aisément que la série a, f, (M—WM,) converge unifor- 
mément sur tout ensemble fermé H sans points communs avec E’ ou 
plus généralement sur tout ensemble fermé contenu dans K, et 
ayant aucun point commun avec Kop. En effet, il n'y a qu'un 
nombre limité d’ensembles /, contenant des points d’an tel ensemble 
H. Done, a partir d'un certain rang N, le n° terme de la série 
et 1 4 
est inférieur à — en tous les points de H, quelque soit n > N. 
n 
Supposons que f,(M) soit la somme d'une série 
Un. 1 (M1) se Un.2 (M) +... + Un.p (I) lfede ie 
uniformément convergente et à termes bornés (chacum séparément) a 
Textérieur de toute sphere ayant son centre a origine. Alors, a l'exté- 
rieur d'une telle sphere ayant le rayon r, défini plus haut, les 
sommes 
Un .p (M) + Un pti (M) H.H Un.g (M) 
sont, indépendamment de p, de q et de M, bornées en module par 
un même nombre 4, .(en particulier, avee g=p, | Un.» ML) | < 2»). 
1 ; 
Soit a, un nombre de module inférieur a ae Je dis qu’en ajoutant 
Nn An 
par colonnes les séries a, fy, (M—M,), nous obtenons une série 
1, (M) +, (M) + . . +, (M) + 
convergente en tout point M. En effet, on a: 
Wp (M) = & Up (M—M,) =F a, U2» (M—M,) AF oo + An Un.p (M— M,) + . 
La série w, (JZ) est convergente puisque, M n’étant intérieur qu’a 
un nombre limité de spheres /,, la série w, (J) n’a qu'un nombre 
limité de termes supérieurs en valeur absolue a l'inverse du carré 
de leur rang. 
Soit e un nombre positif. Nous voulons prouver que, M étant 
choisi, il est possible de déterminer MN, de facon que | w,41 (JZ) + 
HH wg MD) | Se quelque soit p > N,, et quelque soit g. 
= 
