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Done, la somme des termes correspondants a n 4 nj, n< N’ est 
eye ae : eo 1 e n° & 
inférieure, si p > N,, a= B—=>-._< 
9,n? 9 6 3 
grand des deux nombres N, et N,, la condition p >> N, entraîne: 
| wpa (MZ) + .... + wore (M)| Ze, 
quelque soit g. La série w,(JZ) est done partout convergente. 
. Done, si -N, est le plus 
Application. p(n) étant une fonction positive de Tentier n, jamais 
croissante, la série 
p (1) sn AO + yp (2)sm2A0+...4 y(n)snnd+..., 
est convergente quelque soit 6. Soit /(@) sa somme. 6 f(0) tend 
vers 0 avec @. Si la série n p(n) est divergente, f (9) n'est pas som- 
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mable et |/(@)| croit indéfiniment avec —. Soient 0, une suite de 
6| 
valeurs de 4 situées sur le segment (— z, Jz) et y formant un 
ensemble clairsemé queleonque. 
Il existe alors une suite de nombres positifs wy tels que, st \en| Z wr, 
la série 
p (1) Lam sin (O—O,,) + ..-. + P(n) Dan sin n(O—G4,) +... 
ml m=1 
est convergente quelque soit 6. Soit (A) sa somme. 
J'ai défini sous le nom de totalisation un procédé d’intégration 
de certaines fonctions non sommables. La première condition remplie 
par les fonctions totalisables, — savoir que l'ensemble H des points 
d'un ensemble parfait P au voisinage desquels la fonction est 
non sommable sur P, H est non dense sur P, — cette condition 
est remplie par toutes les fonctions limites de fonctions continues, 
puisque, celles-ci étant ponctuellement discontinues, l'ensemble A des 
points de P au voisinage desquels lune d’elles est non bornée sur 
P, K est non dense sur P. K contient évidemment H. 
A toute fonction limite de fonctions continues, on peut donc faire cor- 
respondre une suite d’ensembles parfaits P,. P,,.., Pz, .., correspon- 
dants aux divers nombres ordinaux des classes let II. Par définition, 
si a est de première espèce, P, est le noyau parfait de ensemble 
fermé constitué par les points de P‚ 4 au voisinage desquels f est 
non sommable sur P,-1. Si a est de seconde espèce, P, est le plus 
grand ensemble parfait commun a tous les P, quand «<a. Si 
Q, est ensemble des points de P, au voisinage desquels P, est de 
mesure positive (ou épais), P.41 est l'ensemble des points de Q au 
voisinage desquels f est non sommable sur Q,. Donc, P+, est non 
