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dense sur Q, et a fortiori sur P,. Done, tous les P, sont nuls a 
partir d’un certain rang, 
Etant donnée inversement une suite quelconque d’ensembles par- 
faits P,, telle que 1°. P. soit contenu dans l'ensemble Q. des points 
ou P, est épais, et soit non dense sur Q,, et que, 2°. si a est de 
seconde espece, P soit le plus grand ensemble parfait commun a 
tous les Py si a <a, il est curieux de constater qu’il est possible 
de former une série trigonométrique convergente I’ (@) telle que 
ensemble des points de non sommabilité de F'(/) sur le continu 
ait pour dérivé d'ordre 2, précisément P, et que la suite d’ensembles 
parfaits relative a I(@) et déterminée par la premiere opération 
du ealeul totalisant, soit précisément la suite P,. 
En effet, considérons ensemble Z formé de la réunion des ensem- 
bles F, suivants. F, est constitué par les milieux des intervalles 
contigus a P,. Pour #,, nous considérons les intervalles contigus a 
Pa. Parmi ces intervalles contigus, désignons par 2, ceux qui con- 
tiennent des points de Q,. Puisque P41, situé sur Q,, est non dense 
sur @,, tout point de P,4, est limite d’intervalles £,. Or, sur chaque 
intervalle 7, Q, a une mesure positive, puisque Q. possède cette 
propriété au voisinage de chacun de ses points, et qu'il en existe 
dans 7,. Soit, dans chaque 7,, un point Nz où lépaisseur de Q, est 
égale 4 1. La réunion de tous les N,, pour une valeur donnée de « 
est un ensemble F, situé sur Q,, et possédant un point et un seul 
dans chacun des contigus 7, de P,4;. FH. a pour dérivé P.44. H sera 
par définition l'ensemble de tous les Pz. 
I] est aisé de voir que l'ensemble /, est formé par tous les /, 
de rangs supérienrs ou égal a «. 
EB est done clairsemé puisque, P, étant nul a partir d’une 
certaine valeur de «, il en est de même des / et par suite aussi 
de E,. 
Formons avec les points M, ou 6, de Kla série trigonométrique I (6) 
définie plus haut. Pour un segment 5, sans points communs avec 
Ff, + P,, done situé a une distance positive de Z, il n'existe qu’un 
nombre limité d’intervalles J, empiétant sur o,. Lasérie a, f (9—@,) 
est done uniformément convergente sur 6,. Done elle est continue 
et par suite sommable sur 6,. 
Si 6, contient un point N, et nul point de P,, soit p le rang du 
point N, dans la suite A. 1'(A) — «, f(O—0,), est continue sur 5 
Comme f/(0 -0,) est non sommable autour de @ 
ze 
yp, Test non som- 
mable sur 6,. Done, les NM, sont les seuls points de non-sommabilité 
étrangers à P,. Comme l'ensemble des points de non-sommabilité est 
ferme, et que le dérivé des N, est P,, cet ensemble est 2 NHP. 
