■16 BULETINUL SOCIETĂŢII DE SCIINŢE 



Comme l'integrale generale de cette ^quation est une fonction 

 uniforme de u et par consequent de t, on pourra exprimer ainsi 

 Ies coordonnees du mobile par des fonctions uniformes du temps- 

 Je vais en suivant la voie âiHermite integrer et discuter I'^quation 

 precedente que j'^crirai : 



d^x 

 (4) ^=(2k2sn-u+h^)x 



ga^ 

 en posant h f= — -z — i — k^ 



on bien encore en posant Q=iK'+^> ; i K' etant la demi periode 

 imaginaire de sn et co une nouvelle variable 



d^x / 2 \ 



(5) d^=(s"iĂ;3+N^ 



car on a la relation sn (co+iK')=^ 



On peut voir d'abord aisement que l'integrale generale de cette 

 ^quation est une fonction uniforme de w ou de u. En effet, la fonc- 

 tion sn ayant un seul z^ro dans un parallelogramme des periodes le 

 coefficient de x dans l'equation (5) a un pole double co::=o ou son 

 homologue. Cette equation est donc du type fuchsien et l'equation 

 determinante relative â ce pole est : 



lim / co^ 



r2 — j. — 2 



C0::=OVsn''C0 



ou r^ — r — 2=0 



qui a pour racines : -f 2, — i. 



A la plus grande de ces deux racines, correspond une integrale 

 particuliâre de l'equation (5) 



Xj=to2'|i(w) 



'j^(co) etant une fonction holomorphe, differente de z^ro pour 

 co=o. Ouant a la seconde racine — i on ne peut rien affirmer â 

 priori car la diff(£rence de ces racines etant un nombre entier po- 

 sitif, d'apres Ies principes de Fuchs l'integrale generale peut con- 

 tenir un terme logarithmique. Mais ii est aise de voir que cela 



