20 BULETINUL SOCIETĂŢII DE SCIINŢE 



Mais on a: H(n+K)=Hi(u), H(u— K)=— Hi(u) 



(II') H(u+K+iK')=e '^ ©iW 



De la derniere on deduit en faisant u=o 



H'(K+iKO _ m e/(o)_ m 

 H(K+iK')~ ^"'~Oi(o)~ 2K 



TCU , . 0i'(o) 



car ©4(u)=i-|-2q cos-wr- + et par suite /ir"r^=c)- D autre part 



la rdation ( i o') ecrite plus haut nous donne : 



0'(K)_ h H'(K+iKO _ îti _ iu _ 

 0lK)~^"^H (K+iK')^2K~^~° 



Ainsi l'integrale generale x se reduit â 



^ 0(u) ^ 0(u) 0(u) 



0(0) H,(u) . /k'Hi(u 



mais on a: cnu= — ^-^ i^-^-^i/ i^ 



Hi(o) 0(u) V k e(u) 



k' etant le module complementaire k'=l/i — k'^. 



On a donc : x=C cnu. C etant une nouvelle constante. La fonc- 

 tion cnu est donc une integrale particoliere de l'equation (4) dans 

 le cas hi= — i. 



Pour trouver une autre integrale particuH^re, de cette equation, 

 independante de cnu je me servirai de la formule : 



r du 

 Xn^cna / — 5- 

 ^ J cn-u 



Pour effectuer l'int^grale precedente, je decomposerai la fonc- 

 tion — f- en elements simples. Cette fonction a un pole double 



u^K dans un parallelograme ^lementaire ou son homologue; 

 comme d'autre part elle est une fonction paire, son developpement 

 autour du point u=K sera de la forme 



^=(-^+^«+"^^"-^^^'+ 



