32 BULETINUL SOCIETĂŢII DE SCIINŢE 



d'^y 3 I dy i i 

 °" S?+2xd^~2?^'^° SI lonsuppose 61+62+63= 



qui se ramene â una equation â coefficients constants par la sub- 

 stitution X — e^^e' on x^e* et Tequation de Lamd (i) est 



d2y d^y 



^=n(n+i)[pu— 6,]y ou ^=n(n+i)puy 



II. Supposons 62^63, 6^=62+1 l'equation (3) devient en po- 



I 



sânt X — e.=- 



^ z 



d^y I I — 2zdy i h^z+nCn+i) 

 mais on a k-^ ^o , requation de Lame (i) deviendra: 



e^ — 63 



< X d2y /n(n+i) 2\ 



I I 



car pu= . 2 — ~' En effet nous avons suppose au premier para- 



graphe que la fonction pu etait construite avec Ies periodes 2K 

 2iK' de snu. Dans le cas contraire la r^lation entre pu et snu est : 



pu=e3+ — j — etcommeon a 6^+62+ 63= o 63=63 61=63+1 



sn-d/uei-eg) 



ii en resulte e,= — - , pu= — 5- — - , k==o. Mais d'autre part on a : 

 ^ 3 sn^u 3 ' ^ 



en y faisant k^o on obtient dans le second membre le developpe- 

 ment de sin u. On a ainsi : 



I I 

 pu= . o, — - 

 ^ sm-u 3 



Mais on peut obtenir l'equation (7) directement de l'equation (6) 

 en posant z^sin^u. 



„ . 1 I r^ ^y dy I dy i d^y 



r atsons ce calcul. On a 3—^1 ; =3 ■ ~t~^^= 



dz du 2 sin u cosu du sin 2u dz'' 



d^y d^y i dy cos2u i 



dz^ du- sin^2u ^du sin^2u sin2u 



