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BULETLXUL SOaETlŢII DE SCIINŢE 35 



La demonstration precedente s'applique â une equation d'ordre 

 n ; on l'abaissera au premier ordre. La theoreme est demontre. 



Nous avons ainsi une classe d'equations integrables par des fonc- 

 tions simplement periodiques de deuxieme espece. 11 resterait a 

 etudier ces dernieres fonctions et â trouver leur expression. 



Je ferai la theorie sur l'equation (7). 



Cette equation rentre dans la classe precedente. En effet, son 

 coefficient est une fonction simplement periodique de periode 2 ti 

 (et meme de periode n). Les points sing^uliers â distance fmie sont 

 le pole double u=o ; et l'equation est du type fuchsien. Nous 

 allons demontrer que son integrale generale est une fonction uni- 

 forme de u. Les racines de l'equation determinante relative â ce 

 pole sont n-|-i, — n. A la plus grande de ces racines n-j-i cores- 

 pond une integrale t^^^=u'^+'o{u), ş(u) etant une fonction reguli^re 

 â distance fmie et differente de zero pour u^o. Ouant â la seconde 

 racine on ne peut rien affirmer â priori car la difference de ces 

 racines est un nombre entier positif 2n-j-i et ii est posible qu'une 

 autre integrale r,^ independante de r, ^ contienne un logarithme. 

 Mais on peut demontrer que cela n'arrivera pas. L'equation (7) en 

 effet ne change pas quand on change u en — u, elle admettra donc 

 pour integrale la somme u" + '[9(u)+( — iY+^^{ — u)] oii l'on doit 

 prendre le signe -f- ou — suivant que n est impair ou pair. Ainsi 

 on peut supposer que o{u) ne contienne que des termes pairs. 

 DĂs lors la demonstration se fera comme plus haut. 



r du r du I 



On a: t,,. -ri,j .^==^"^11 j {i^.i+y(^)=u^. 'K"); 'K") etant holo- 



morphe et difference de z6ro pour u-=^o car l'integration ne pourra 

 introduire aucun logarithme. L'integrale generale de (7) est donc 

 une fonction uniforme de u. En vertu du theorâme d6montr6 plus 

 haut, elle s'exprimera par des fonctions periodiques de deuxieme 

 f.sp'tce. .Soit F(u) une integrale quelconque de l'fiquation (7); la 

 p'jriode /îtant 27: on a 



F(u-|-2Tc) [xFfu), u. f^tant constant 



Nous allons trouver la forme de F(u). 



Commf; cette integrale sVţxprime au moycn d'iin syst<;mf; fon- 

 damf;ntal r,j, 7)2 elle admet un p6l(.' d'ordre n (u o). 



