38 BULETINUL SOCIETĂŢII DE SCIINŢE 



SUR LA THEORIE DES EQUATIONS INTEGFALES 



PAR 

 A. MYLLER 



Gdttiugen, Fevrier 1905. 

 î 



M. D. Hilbert a etudie dans ses uGrundziioŢe einer allofemeinen. 



Theorie der linearen Int egralg-leichungen » ') le d^veloppement 

 d'une fonction arbitraire suivant ce qu'il nomme Ies «Engenfunk- 

 tionen» qui appartiennent â un «noyau» K(st). 



I la montre que Ies developpements suivant Ies fonctions trigo- 

 nom^triques, suivant Ies fonctions de Bessel, Ldgendre, Sturm, etc. 

 sont des cas speciaux des ses developpements. 



II est arrive â ces resultats en montrant que l'dtude de certai- 

 nes proprietes de quelques equations de 2-me ordre se r^duit â 

 l'etude d'une equation integrale (Integralgleichung). 



Les resultats obtenus par M. Hilbert peuvent s'etendre aux 

 equations differentielles lineaires d' ordre superieui comme on verra 

 dans la suite. 



Je distinguerai du commencement les equations d'ordre pair de 

 celles d'ordre impair â cause des resultats de nature differente 

 qu'on obtient. Dans les types des equations etudiees entreront les 

 equations de la forme 



dV. 



dxi 



.ky(x)y 



etudiees par M. Davidoglou -). 



Pour ne pas compliquer les calculs je me bornerai du commen- 

 cement â l'etude d'une equation de 4"° ordre et d'une de 3""' or- 

 dre. La g6n^ralîsation pour les equations d'ordre 2" et 2"-\- i sera 

 immddiate. 



') Gottingen. Naclirichten 1904. 



^) Anii. de l'^cole normale superieure 1900. 



