BULETINUL SOCIETĂŢII DE SCIINŢE 4^ 



Soit y (x) une solution continue et avec Ies 3 premieres derivees 

 continues de l'equation (2) qui satisfait â une des conditions aux 

 limites et soit G(x,?) la fonction de Green, correspondant aux 

 memes conditions. 



En introduisant dans la formule (i) â la place de y et z la solu- 

 tion y de l'equation (2) et â la place z la solution G(x,5) de l'equa- 

 tion L(y)=;o on obtient, en tenant compte de la discontinuite de 

 la 3""" derivee de G(xc) et de la loi de symetrie de G(x,$) 



y(x)=XJG(x,^)K?)y(?)d? 



C'est une equation integrale homog-^ne. 



L'expression G(x^)'|i(?) avec laquelle y(i)d? est multiplice a ete 

 appellee par M. Hilbert le noyau (Kern) de l'equation integrale. 



y 



En remplagant y par — = on arrive â l'equation integrale. 



y(x)=X JG(x,5)l/'Kx)'K^) Vm 



l 



dans laquelle le noyau G(x^)l/'|(x)J;($) est une fonction symetrique 

 par rapport â x et â ?. Nous le noterons par K(x^) et nous avons 



(3) y(x)=X /K(x?)y(j)d5 



Cette eiuation integrale a ^te etudiee par M. Hilbert. II a prouvd 

 entre autre que excepta une suite infmie des valeurs remarquables 

 de X (Eigenwerte) X,, X^, X3.... l'c^quation (3) n'admet pas des so- 

 lutions differentes de z^ro qui satisfont aux conditions aux limites 

 donni^es et pour chacune de ces valeurs X^ X.,..., admet une solu- 

 tion remarquable (Eigenfunktion) ©1 9,,... diffdrente de zc^ro satis- 

 faisant aux conditions donni^es. II a montrf'; aussi la possibilite du 

 developpement d'une fonction arbitrain: suivant Ies fonctions re- 

 marquables ^i 92- ' ■ • 



On voit tout de suite que ces rf'îsultats peuvent s'(^tendre sans 

 difficult''; aux dquations d'ordre pair. 



Pour Ies ''vjuations d'ordre impair Ies consid<^rations doivent su- 

 bir des modifications plus importantes comiiu: on 1<: v-rra dans Ies 

 chapitf'js suivants. 



