BULETINUL SOCIETĂŢII DE SCUNŢE 45 



par exemple pour Tequation -j-g =o on a pour l'intervalle de 

 x=a â x=b 



G(x^)= 



P(x,?)=^a(b-i)(?-a) si x>^ 



— P(^,a) si x<? 



Deux fonctions de Green G(x,^) et G(x,^) introduites dans la for- 

 mule (5) donnent, en tenant compte de la discontinuite de la 2'"^ 

 derivee, la loi suivante 



G(^,$0— G(?,^) 

 qui montre que la fonction de Green appartenant â ces conditions 

 aux limites est une fonction gauche symetrique par rapport aux 

 deux variables qu'elle contient. D'une maniere analogue â celle 

 du chapitre precedent on peut arriver en partant de l'equation de 

 3-"°' ordre. 



(6) L(y)=-X'Kx)y 



a. r^duire l'etude des integrales de cette equation satisfaisant aux 

 conditions aux limites indiquees â l'etude de l'equation integrale 



y(x)=A fG(x^j'|(^)y(?)d? 



y 



En remplagant y par —= et en notant G(x,?) l/'];(x)'|'(?) par 



K{x,;j on obtient l'equation integrale 



y(x)=l /K(x,^)y(^)dS 



ou le noyau K(x5) est une fonction gauche symetrique par rapport 

 â X et ;. 



M. Hilbert a ({-tudie Ies (^quations int(^grales dans la cas ou le 

 noyau est une fonction symetrique. 



II s'agit ici de voir en quelle mesure Ies rdsultats de M. Hilbert 

 peuvent s'appliquer dans le cas d'un noyau gauche symetrique. 



M. Hilbert part d'un probleme algdbrique et par un rigoureux 

 passage â la limite, pour n = =>o, arrive ă la solution de l'f'quation 

 integrale en ţi. 



f(s)=']/(s)-XjK(st)Kt)dt 

 dont T'^qtiation homogĂne n'est qu'un cas particuli<:r ou r(sj=:o. 



