48 BULETINUL SOCIETÂŢII DE SCIINŢE 



On trouve comme solution de l'equation integrale 



(3) f(s)=?(s)-X^k(st)9(t)dt 



la fonction 



9(s)=:f(s)+X /K(st)f(t)dt 



«/ o 



OU 



A(X;s,t) 

 K(s,t)= g^^^ 



A(X;st) et o(k) etant des s^ries entiâres en \. 



8(X) etant obtenu de d(l) par un passage â la limite on peut voir 

 facilement que 8(X)=o n'a pas aussi de racine reelle. 



II est prouve que l'equation (3) admet seulement une solution 

 pour chaque valeur de X qui n'annule pas S (X). 



On peut voir que pour une telle valeur de X qui n'annule pas S(X). 



On peut voir que pour une telle valeur de X l'equation homogene, 



(3) 'Ks)=^j"K(s,it)'Kt)dt 



n' admet pas de racine dit'ferente de zero car si '^i^ est une solution 

 de l'equation (3) et <\i^ une solution differente de zero de (4) alors 

 en soustrayant (4) de (3) on voit que ']i^ — <\i^ est aussi solution de 

 (3) ce qui est impossible. 



A l'aide de ce r^sultat on constate que (4) ne peut pas avoir une 

 solution reelle car S(X) ne s'annule pas pour des valeurs reelles de X 

 et pour de valeurs imaginaires de X l'equation (4) mame, montre 

 qu'elle ne peut pas âtre satisfaite par des '\i reelles. 



En revenant maintenant au probleme, pos^ au commencement 

 du chapitre, nous voyons que l'equation differentielle 



5x3=— HWy 



n'admet pas de solution s'annulant en deux points de l'axe des x 

 x^:a et x=b et ayant dans ces points de tangentes egales. 



