178 BULETINUL SOCIETĂŢII ROMÂNE DE ŞTIINŢE 



atunci avem : 



(5) ?i(x)H-Xf|'Ni(xt)9,i(t)dt=-.o 



De aici se vede că dacă sâmburelui N(xs) îi corespunde o va- 

 loare caracteristică X^, sâmburelui N|(xL) legat de cel dintâi prin 

 relaţia (4), îi va corespunde valoarea caracteristică — X . 



Riciproc, dacă sâmburelui N^Cxt) îi corespunde valoarea ca- 

 racteristică — "X;J, sâmburelui N(xs) îi va corespunde valoarea 

 caracteristică + Xj. 



In adevăr, fie — Xj valoarea caracteristică aparţinând sâmbu- 

 relui N|(xt) şi 'j'(x) soluţia fundamentală corespunzătoare. 



Dacă formez expresiunea : 



(6) 9i(x) = ?(x) + Xi|'N(xs)^(s)ds, 



ea verifică ecuaţia noastră, căci introducând în (i), avem: 

 •i>(x) + Xi rN(xs)'];(s)ds — X jN(xs)rj;(s) -\ Xi rN(st)'j;(t)dtlds=zo. 

 Simplificând rămâne : 



-■Kx) — X;rN(xs)N(st>|(t)dt ^ o 



'h{x) -f X:^N,(xt)'Kt)dt = o, 



dar aceasta e tocmai ecuaţia (5). 



De aici se vede că la o valoare caracteristică — -X^ a lui N ,(xt) 

 corespunde cel puţin o valoare caracteristică Xj pentru sâmburele 

 N(xs). Cum sâmburele Nj(xt) este un sâmbure simetric pozitiv, căci 



Tn /xt)h(x)h(t)dxdt =/N(sx)N(st)h(x)h(t)dxdtds 



= /rN(sx)h(x)]'Ms>o, 



rezultă că valorile caracteristice ale sâmburelui Nf(xt) sunt reale şi 

 pozitive. 



Deducem de aici : 



X, = 4;^i{A 



