(7) 



BULETINUL SOCIETĂŢII ROMÂNE DE ŞTIINŢE 179 



Deci valori caracteristice aparţinând sâmburelui simetric 

 strâmb N(xs) există şi ele sunt pur imaginare, conjugate câte 

 două, de forma + iui.. 



Funcţiunile caracteristice corespunzătoare vor fi în acest caz de 

 forma : 



a(x) + ib(x) 

 Observare : Să introducem în (i) soluţia a(x) + ib(x), avem: 

 a(x} + ib(x) + iiji /n(xs) ra(s) + ib(s)1 ds = o, 

 care e echivalentă cu ecuaţiile : 



a(x) + fArN(xs)b(s)ds = o 

 b(x) jp UL /N(xs)a(s)ds ==.- o 



Să rezolvăm acest sistem în raport cu funcţiunile necunoscute 

 a(x) şi b(x). 



Introducem valoarea lui b(x) din a 2-a ecuaţie în prima, avem : 



(8) a(x) + [x-^ /N(xs)N(st)a(t)dsdt =. o 



Ţinând seamă de (4) şi înlocuind — a- = X-, vorn avea: 



a(x)^-|(x) şi 



Atunci 



o,{x) = a{x)±[h{x) = -\>(x)±lJN{xs}i(s)ds 



Regăsim pentru o^(x) forma (6) care am luat-o apriori. 



Dacă în rezol virea sistemului (7) aflam din prima ecuaţie pe a(x) 

 şi înlocueam în a 2-a, găseam o ecuaţie identică cu (8). Acest lucru 

 înseamnă că sau b(x) = ka(x) (k o constantă) şi deci 



?iW = a(x)(i+ik), 



sau dacă a(x) şi b(x) sunt diferiţi, — X"^, este de multiplicitate dublă 

 pentru N,(xt). 



3. Polii sâmburelui rezolvant sunt simpli. Sâmburele ecuaţiei 

 (5) fiind simetric ştim că soluţia eivp(x) are numai poli simpli, şi cum 



