BULETINUL SOCIETĂŢII ROMANE DE ŞTIINŢE 181 



e contra ipotezei, sau k(s) nu este nul şi atunci relaţia (io) iarăşi e 

 contra ipotezei. 

 Relaţia 



lNi(xt)h(t)dt=:o, 



fi 



nu poate deci să existe şi rezultă că sâmburile Nj(xt) este şi el 

 închis. 



Dar noi ştim că orice sâmbure simetric închis N|(xt), are o in- 

 finitate de valori caracteristice, şi am arătat că la o valoare carac- 

 teristică — X^i a lui N|(xt) îi corespunde valorile caracteristice 

 + Xj pentru N(xs), rezultă deci că sâmburele simetric strâmb în- 

 chis N(xs) admite o infinitate de^ valori caracteristice. 



5. Desvoltarea unei funcţiuni arbitrare in serie de funcţiuni 



fundamentale. Orice funcţiune f(x) de forma /N(xs)h(s)ds, unde 



N(xs) este un sâmbure simetric strâmb, se poate desvoltâ într'o 

 serie regulat convergentă de funcţiuni fundamentale ; funcţiunea 

 h(s) şi sâmburele sunt funcţiuni de pătrat integrabil. 



Voesc să arăt deci că funcţiunea /N(xs)h(s)ds se poate pune sub 

 forma : 



00 



(ti) JN(xs)h(s)du=:.;2An9n(x) 



I 



9n(x) fiind funcţiunea fundamentală corespunzătoare valoarei carac- 

 teristice Xnj aparţinând lui N(xs) şi care am văzut că e de forma : 



(pn(x) = an(x) + ibn(x) 



Forma (i i) devine atunci: 



00 00 



jN(x)h(s)ds -- 2 An [an(x) + ibn(x)] = 2 JJ Ana„(x) 



Vom utiliza pentru aceasta teorema d-lui Schmidt, asupra sâm- 

 burilor nesimetrici, care se enunţa astfel : 



Orice funcţiune de forma lN(xs)h(s)ds este desfăşurabilă 

 într^o serie regulat convergntă de funcţiuni ^n, cari sunt func- 

 ţiuni fundamentale pentru sâmburele N j(xt)=/N(sx)N(st)dt. 



