182 BULETINUL SOaETAŢII ROMÂNE DE ŞTIINŢE 



Cum soluţia fundamentală a lui Ni(xt) am notat-o cu 'i^nvx) vom 



avea 



jN(xs)h(s)ds=:2^An'Wx] 



Soluţiile fundamentale ale sâmburelui N(xs) fiind de forma : 



an(x) + ibn(x) 



am dovedit- că partea reală este tocmai o soluţie a ecuaţiei (5) deci 

 este 'Infx), rezultă deci: 



00 

 JN(xs)h(sjds ==: 2^ Ana^(x,l 



şi teorema e demonstrată. 



Acestea sunt proprietăţile principale ale sâmburelui simetric 

 strâmb. 



6. Trec acum la a doua parte a acestei lucrări, la aplicaţiile 

 sâmburelui simetric strâmb în legătură cu ecuaţiile diferenţiale 

 de ordinul al 3-lea. D-1 Hilbert, pentru a putea aplica rezultatele 

 sale asupra sâmburilor simetrici, stabileşte o legătură strânsă în- 

 tre ecuaţiile integrale cu sâmbure simetric şi ecuaţiile diferenţiale 

 de ordinul al 2-lea şi anume consideră dintre ecuaţiile diferenţiale 

 de ordinul al 2-lea numai pe acele auto-asociate, 



(12) L(u) = ^^(pi^) + qu = o, 



căci numai ele pot da naştere la ecuaţiuni integrale cu sâmbure 

 simetric. 



Existenţa unei soluţiuni complect continuă cu 2- condiţii la limită 

 în 2 puncte diferite, neputându-se în general obţine pentru ecuaţia 

 (12), D-1 Hilbert. caută să construiască o soluţie pentru ecuaţia 

 ( 1 2), funcţiune de variabila x şi de parametru ^ care să îndepli- 

 nească următoarele condiţiuni : 



i^ Să verifice ecuaţia (12) într'un interval dat a, b : 



2^ Să verifice nişte condiţii Green la limite : 



3^ Să fie continuă, însă prima sa derivata să aibă un salt egal 

 cu — I în punctul c(a<C^<Cb). Pentru construirea unei astfel de 



