384 BULETINUL SOCIETĂŢII ROMÂNE DE ŞTIINŢE 



Nous partirons pour cela du developpement bien connii: 

 DfA; a,b, = I +i;(- O"-./ Nh''--Hds,ds,...ds„. 



n= I \ X - / 



Le coefficient de X" est une integrale w-uple dont Tel^ment 

 diflerentiel est une fonction symetrique des variables s^ Sg ...Sn; en 

 effet, si Ton change deux variables entre elles, on obtient en meme 

 temps un,echange de deux lignes et de deux colonnes, dans l'ex- 

 pr^ssion sous forme de determinant, ce qui evidemment n'alt^re 

 pas sa valeur. 



Or remarquons qu'en general si F(xiX2...Xn) est une fonction 

 sym6trique de ses arguments on a ; 



E=— / ... / F(S|S2...s,i)dsjds2...dsn=n / ...I F(bs„2...Sn)ds2...ds,i. 



En effet si l'on applique la regie de diff<^rentiation sous le pre- 

 mier signe â variables, on a : 



E— . l F(bs2S3...Sn)dSo2...dSn+/ ^^S^-jr I ... / F(SiS2...Sn)ds2...ds„ 



Cette expression de E nous montre que si la regie est vraie 

 pour n — I, elle sera aussi vraie pour n, car on aura ainsi : 



E=z F(bs2...Sn)ds2...dsnH-(n — i) / F(sibs3...Sn)dS|ds3...dsn. 



Or la fonction F(sjS2...Sn) etant symetrique, on obtient par un 

 changement de notation justement la formule cherchee : 



E = n/ F(bs2...Sn)ds2...dsn- 



On aura donc: 



n= I \ ^ / 



^-^ n — I \J a. \D^i.-.Sn — 1/ 



n= I \ « / 



= XDrX;a,b 



