BULETINUL SOCIETĂŢII ROMÂNE DE ŞTIINŢE 385 



c'est-â-dire justement la premiere des formules (2). Le mame cal- 

 cul etablit en meme temps la seconde des formules (2). 



3. Les formules (2), interessantes par elles-mâmes, permettent 

 maintenant tr^s facilement d'obtenir les formules de variation que 

 nous avons en vue. 



Considerons d'abord le cas d'un noyau symetrfque N(xy) et 

 prenons une valeur caracteristique Xn d'ordre egal ă Vunite, Dans 

 ce cas ii existe une seule fonction fondamentale qui sera aussi, 

 comme c'est bien connu, aussi une solution fondamentale relative 

 a Xn. L'expression du noyau r^solvant est : 



D(X^ - \^-\ ^ ^^""^^ 

 en mettant en evidence la pârtie relative au pole Xn. On en duduit: 



(3) D|^Xn| = 9n-(b)D/(Xn). [Dr(X„)^o] 



Prenons maintenant la d^rivee de 



D(Xn ; a,b) = o 

 par rapport â 6 ; on obtient : 



■DA'(Xn)(XnV + Db'(M-=:0 



ou en tenant compte de (2) : 



Dr(X„) . Xn)b'+(XnD|^X, 



ou enfîn en vertu de (3) : 



(Xn)b' + Xn?n2(b) = 



ce qui est justement la formule de variation cherchee. On aura, par 

 le meme calcul 



(Xn)a'— Xn(pn^(a) =: O. 



Une premiere application de ces formules simples est la re- 

 marque suivante : les valeurs caracteristiques decroissent en valeur 

 absolue lorsque l'intervalle ab croit ; en effet si Xn est positif et 

 si b croît, Xn decroit puisque sa derivee est negative, et croîtra s'il 

 est n^gatif ; dans tous les cas ii d^croîtra en valeur absolue. M^me 

 raisonnement pour l'autre limite a. 



