388 BULETINUL SOCIETĂŢII ROMÂNE DE ŞTIINŢE 



applîcable au cas g^n^ral d'un noyau quelconque, et qu'il est tres 

 facile de verifier, Je voudrais montrer que cette formule peut aussi 

 permettre d^obtenir la formule (5'). 



II suffit pour cela de partîr de la relation : 



(8) or . (X„V + D/==o. 



Faisons dans (7) X ^= Xn; nous obtenons : 



'b. \ . . . /^b 



DbXXJ==X,DrX„H-X„2/^ D^X„ Nb'(ts)dsdt. 



Remplagant Db' dans (8) par cette valeur et remarquant que 

 dans ce cas on a : 



DrXnU::r9„(s)^4b)iy(X„) 



nous tombons justement sur la formule (5'). 



7. Passons maintenant aux fonctions fondamentales de Mr. 

 Schmidt. Nous avons montre ^) que ces fonctions ne sont autre 

 chose que Ies fonctions fondamentales respectivement des noyaux 



/N(sx)N(sy)ds et /N(xs)N(ys)ds dont Ies valeurs caracteristiques 



communes sont X^. Or Ies noyaux pr^c^dents sont symetriques; 

 on peut donc leur appliquer directement la formule (5) que nous 

 avons donnee pour le noyau symetrique, 



Sont donc cpn(x) et (|^n(x) la paire de fonctions de Mr. Schmidt, 

 relatives au noyau Xn ; 9n(x) sera la fonction fondamentale re- 

 lative â Xn^ du noyau N(xy) et '\>n{^) celle du noyau N(xy). On 

 aura donc : 



(9) SXn2+[9„2(b)8b-9n2(a)8a]X„2+Xa^J8N(st)9n(s)?a(t)dsdt==o. 

 Mais l'on a : 



8N(xy)=^(sx)aN(sy)ds+/N(sy)8N(sx)ds+N(bx)N(by)8b-N(ax)N(ay)S^ 



et en composant avec: Xn'^9n(x)9n(y), ^t tenant compte de la rela- 

 tion : ^n(x)=X„ /N(xt)9n(t)dt : 



Xn2|SN(st)9n(s)?n(b)dsdt=2Xn|SN(st)H'„(s)î)4t)dsdthV'(b)Sb-'|^„^^(^^ 



1) T. LalescO. Introduction k la tWorie des cquations intcgiales, 1912. Hermaiin & FiLs. 

 Paris, (pag. 98). 



