400 BULETINUL SOCIETĂŢII ROMÂNE DE ŞTIINŢE 



Teorema este demonstrată în Lucas, Theorie des Nombres, 

 voi. I, pag. 345, ex. III. 



15. Să arătăm că M-1 unui grup este dat de expresiunea 

 M=:D rJD nD ... UD na^"-*^ 



n n—i /)— 2 2 



Va fi suficient să arătăm că numerele 1 (de la § 14) formează 

 un grup-prim. 



Expresîunile numerelor 1 sunt : 



\^ = nD ub .... nD na<'r*\ ni, 



n— 1 n— 2 ■ 2 

 2 2 2 



1, = nD nD .... nD na^^-^^, z 1 2, 



n—i n—2 2 



\„ =: nD nD ... nD na^7-^>, /+/?, 

 11 - 1 »— 2 2 



l^ = nD nD ... nD na<r^\ ?'+w. 



n-i n-2 2 



Fie S cel mai mic divizor al grupului numerelor 1, 8 fiind diferit 

 de unu. 8 divide câte cel puţin un D sau a^"~'^ din fiecare linie. De 



oarece D şi a^*^"~* sunt absolut prime în grupurile lor (§§ 4,8), S nu 



p 

 poate fi un divizor a doi a*^""^^ sau doi D; ci dacă divide de exemplu 



p 

 pe a/'*~*^ nu mai poate divide nicîun alt a^'^~^\ Divizând pe a^^""^^ di- 

 vide toate numerele l,,., ^4: i ; să arătăm că pe Ij nu-1 poate divide. 



Intr'adevăr dacă l'ar divide, de oarece nu divide pe na/"~^^ (^+1) 



—1 

 ar trebui să di vidă cel puţin unul din produsele nD ceeace este 



imposibil (§12, caz part.). 



Dacă S ar divide un D, de exemplu pe D', n'ar mai putea divide 



p 

 nici un D şi ar rămânea ca în cazul cel mai nefavorabil să mai di- 



p 

 vidă cel puţin un alt D, de ex. D, q^p^ care să se găsească în 



liniile unde eventual nu s'ar găsi D. 



p 

 Presupunem că avem D (a,, a^, ..., a,,) şi D(a„, a^^, ...,a,- ), ceeace 



