268 BULETINUL SOCIETĂŢII ROMÂNE DE ŞTIINŢE 



supposees toutes converg-entes, ainsi qiie la serie 



(a) ■ ' ■ Zj^I^^'2^ • • • 3pk. 



^ k 



L'inegalite (2), appliquee â ces series, exprime la proposition 

 suivante : 



La serie (4J, ayant pour terme general le produit de terme s 

 generaux de plusieurs series ( ^) ă termes positifs^ a la somme 

 toujouvs plus petite que la racine carree du produit de series 

 ayant pour termes Ies carres des termes des series f^J. 



2. Soit 



(5) . , . ■ 



«po + ^-piz + «poz^ H- 



(avec p^i) une suite de series de puissances, a coetficients reels 

 ou complexes ; soit ensuite 



I aik 1 = aik I z 1 = r 



et C le cercle de convergence commun aux series (5). 

 Si l'on envisage Ies deux series 



(6) F(Z) =z ^apaC^n . . . «pnZ" 



(7) *(Z) =:: 2aina2n • • • SpuZ" 



• on a, d'abord, pour toute valeur de 2- â l'interieur de la circonfe- 

 rence C 



(8) 1 F(z) I <cî>(r) 



D'autre part, la serie ^{z) ayant tous ses termes reels et posi- 

 tifs, on peut lui appliquer la proposition precedente: en rempla- 



k , 



gant dans (2) Ies aik par aikz^ on en tire l'inegalite 



2ja|na2n . . .apnZ"!" <C]^^-'\v7' - . 2j^"2n2y . ^ ^ Zu^'pnZ — 

 n ^ 



exprimant la proposition suivante : • 



La serie de puissances [6], ayant pour coejficient general 

 le produit de coefflcients correspondants d'une suite de series 



