BULETINUL SOCIETĂŢII ROMÂNE DE ŞTIINŢE 273 



SUR IES DEVELOPPEIIPTS DE CU'CIIV E^ SERIES D'EXPOffl\TlELLES 



ET 



soe mimu mmm remarodables 



PAR 



O. TINO 



•Dans deux Notes parues dans Ies Comptes-Rendus de 1' Aca- 

 demie des Sciences 19 ii (153) pag. 1054 et 191 2 (154) pag-. 28- 

 M. Andre Leaute remarque, relativement aux developpements 

 exponentiels de Cauchy, la diffîculte suivante : »la serie exponen- 

 tielle bien qu'egale dans tout Tintervalle â la fonction donnee, en 

 differe aux extremites". 



M. Andre Leaute introduit d'abord la notion d'intervalle li- 

 mite et donne ensuite une autre forme a la serie exponentielle de 

 Cauchy dans le cas ou f(x) a une derivee f'(x). 



M. Emile Picard reprend la question [Comptes-Rendus de 

 l'Academie des Sciences 17 juin 191 2 Qt Bulletiii des Sciences 

 Mathematiques, mai 19 13] en introduisant d'abord certaines pre- 

 cisions dans l'analyse de Cauchy sur Ies developpements eh se- 

 ries exponentîelles ce qui lui permet d'etablir le resultat de Cauchy 

 pour le cas d'une fonction a varlation bornee (au sens de M. Jordan), 



Ensuite, en retablissant le developpement de M. Andre Leaute, 

 ii le compare avec celui de Cauchy [obtenu pour la meme fonction 

 arbitraire f(x) ] et en deduit Ies identites suivantes [indiques d'ail- 

 leurs par M. Andre Leaute] : 



(A) E^e--^|j .(0)^0 



(V\\ Y< 'K^) A(x-xo)__'Ko) 



'^ ' ^\iz'{\f 7l(0) ■ 



formules qui sont valables pour toute valeur de x comprise entre 

 x^^ et AJ|, ă Vexclusion des extremites^ et en conclut par sous- 

 tractipn : , 



