274 BULETINUL SOCIETĂŢII ROMÂNE DE ŞTIINŢE 



developpement remarquable en serie d'exponentielles, valable pour 

 toute valeur de x comprise entre Xq et a^j — ă V exclusion des 

 extremiies. 



De meme, dans le cas ou zero est une racine simple de 7:(z), ii 

 deduit des identites analogues le developpement : 



qui a lieu pour toute valeur de x comprise entre Xq et x^ et oii 



* I — 1 



l'on doit remplacer le second membre par- — pour x =^X| et par 



I— L 



pour X = Xq. 



2 



En outre M. Emile Picară atire l'attention sur le fait que ces 

 identites ne renferment aucune fonction arbitraire. 



Dans ce qui suit, je me prppose de demontrer que Ies identites 

 mentionnees ne sont autre chose que des developpements expo- 

 nentiels de Cauchy particuliers, mis sous une forme qui cache un 

 peu leur origine. 



Cela me permet ensuite d'etablir le developpement de M. An- 

 dre Leaute dans le cas plus general oia la fonction arbitraire f(x) 

 est seulement ă variation bornee. 



2. Le resultat de Cauchy presente par M. Emile Picard est le 

 sujvant : 



ri(z), ^i'*(z), X(z) etant trois fonctions entieres de la variable com- 

 plexe z — telles que X(z) = rj(z) — ^F(z) — et x^^ et x^ deux con- 

 stantes reelles donnees (xq <1xi), supposons que l'on puisse trou- 

 ver une suite de circomferences de rayons x^, x^, . . . , Xn . . . eran- 

 dissant indefmiment avec n et telles que le point z etant sur Ies 

 moities — â droite de Paxe imaginaire — de ces circomferences, 

 on ait, pour n infini 



(I) lim -'-^e ° = o et hm —. e ^ == o 



7r(z) 7r(— z) 



sauf peut etre pour un nombre limite de directions [plus genera- 

 lement: de directions correspondant â des angles formant un en- 

 semble de mesure nuUe], pour lesquelles toutefois Ies expressions 

 precedentes resteraient inferieures â un nombre fixe. 



