278 BULETINUL SOCIETĂŢII ROMÂNE DE ŞTIINŢE 



faisant seulement aux conditions necessaires pour qn'ii existe un 

 developpement Cauchy. 



La formule (L), c*est le developpement de M. Andre Leaute, 

 mais pour le trouver je n'ai pas eu besoin de l'existence de la de- 

 rivee de f(x). 



6. Dans lecas ou 71(0) — o (tc'(o) ^ o), Ies formule (I), (II), (!'), 

 (ir), {V'\ {11") deviennent: 



. -*— ' Atî (A) TT (o) 71 (o) 



'^^) lu^^'ixf '+^ Xi^.(o)+''7i'(~^~'' 



fiO V-W^e'^^^-^"^4-A4-x '^-x '+^°^-^ 



^'^ ^\^\\)^ +^+^^t:'(o) '^)^^2 



Xiz'iX) ' ^ 7r'(o) ' ^ 7r'(o) 2 



et le developpement (L) devient par consequent : 



CL') f(x) = - E Ig ^ 't/r-^'^^^f^^^^ + ¥ ^""''- -?'^'"°] 



X 7^0 et A le residu de- : pour la racine z^=o. 



z-(z) ^ 



7. M. Andre Leaute rende le developpement (L) ou (L') pure- 

 ment exponentiel en eliminant respectivement le terme constant 

 ou le terme en x^ par un artifice, qui reussit pour toutes Ies series 

 exponentieles, sauf le cas de la serie de Fourier et ii deduit de la, 

 qu'il n'y a que le developpement de Fourier qui est unique. 



Je veux deduire cette derniere consequence en etudiant Ies hy- 

 potheses (J) aux quelles satisfout Ies deux fonctions entieres k(z) 

 et '\>{z). 



