280 BULETINUL SOCIETĂŢII ROMÂNE DE ŞTIINŢE 



On peut le rendre tel, en considerant en meme temps l'identite (I) 

 et en eliminant Ies termes constants. On a alors : 



(3,) , ^^y.-/(oWÂ)-'Ko)-/(»^^(x-x,, ^^^^^ 

 OU encore : * 



^^ ■ Z^ (X— h)7r'(A} 



— on trăite de la meme fag:on le cas ou zero est une radine simple 

 de 71(2). 



En ajoutant le developpement (s') au developpement (C) de 

 Cauchy, on aura un deuxieme developpement (s'') qui represente 

 f(x) dans Ie meme intervalle. 



Donc, toutes Ies fois que '\>{z) s'annule, le developpement (C) 

 ne peut pas 6tre unique. 



Tel est le cas, dans le probleme du refroidissement de la sphere 

 considere par Fourier. 



Examinons maintenant le, cas ou ']^[z) ne s'annule pas, c'est-â- 

 • dire ']/(z)==c'^^ ou f(z)^e ^''\ G(z) etant une fonction entiere. 



Prenons d'abord le cas '|(z) = c et posons nous le probleme 

 suivant : 



Etant donne un intervalle x^ — Xq = a >> o et la fonction 

 '}(z)==:c, trouver la fonction entiere 7r(z) teii e que Ies condi- 

 tions (J) soient satisfaites. 



Remarquons d'abord qu'on peut toujours supposer ']^{z)-=^ — i ; 

 alors Ies deux conditions auxquelles doit satisfaire 7î(z) sont Ies sui- 

 vantes : 



limz=-^e^' = l, lin^ [i +-7 ^le^'=L 



n = oo -f^Cz) ii = ool 7r( — Z)J 



[1, L etant deux constantes fmies et z restant toujours dans Ies 

 conditions donnees au commencement]. 



On peut toujours satisfaire a la premiere en posant : 



la fonction entiere co(z) etant telle que: lim to(z)e'^^=o. 



n = oo (sur Xn') 



