BULETINUL SOCIETĂŢII ROMÂNE DE ŞTIINŢE 281 



Poursatisfaireâlaseconde, ilfautavoird'abord : lim -ir(— z)= — i, 



(sur Xn') ii = oo 



par suite: lim co(— z) = -i, mais ii faiit en outre que: 



(sur Xn')ii = cx: 



lim [co( — z)-|-i]e^^=^Lj [L| une constante finie]. 



(sur Xn')ii = oo 



On en conclut, que la fonction entiere : 



[co(z)-]- iJe-^2 



doit rester bornee sur la serie de cercle Xj, Xo,.- Xn,... et alors? 

 d'apres le theoreme de Liouville^ elle doit se reduire â une con- 

 stante — qui est necessairement nulle, donc : 



co(z) = — I 



et par suite : r.{z) = e^^'+'^ — i . • 



Si b = o, le developpement (c) de Cauchy est le developpe- 

 ment de Fourier^ si b ^ o, c'est toujours le developpement de 

 Fourier^ mais pour la fonction \ > 



b 



Donc, le seul developpement (c), pour lequel 'h{z) = c^^, c'est le 

 developpement de Fourier. 



Prenons maintenant le cas oii '\i(z) =^ e^(^), [G(z) etant une fonc- 

 tion entiere] et proposons nous de trouver u(z). 



Si Ies fonctions 4^(z)=re'^'^^) et 7r(z) satisfont aux condition (J), 

 Ies fonctions '\i^[z)--= — i et 7î,|(z)^ — ^(z)^^^^) y satisfont encore^ 

 et par suite — -d'apres ce que nous venons de voir — on a: 



7t Az) — — u(z)e-G(z) = e^^— i 



d»\ V i. ^ ' 



ou: 



Tc(z) = — eG(z) [e^^ — i]. 



La conclusion est donc la suivante : dans tous Ies cas^ on peut 

 — par le procede montre — former une serie exponentielle nulle, 

 sauf dans le cas de la serie de Fourier. 



Paris, Juin 1913. 



