508 BULETINUL SOCIETĂŢII DE SCIINŢE 



A, B, C etant certaines expressions formees â l'aide de a, 6, c et 

 de leurs derivees. Voici Ies resultats qu'on tire des equations (i), 

 (2) et (3) : 



„ i° La solution R n' existe pas; 2 la solution R depend d' une 

 constante arbitraire (en dehors de la constante additive) : ce cas 

 correspond â A=B=C=o; 3 ii y a une seule solution R; 4 

 ii y a deux solution R distinct es ; 5 ily a deux solutionsR con- 

 fondues: dans ce cas, la solution R satisfait aussi a l'equation 



/o6\ 2 /S6\ 2 



et reciproquement. 



»Cherchons maintenant dans quel cas on a un reseau qui reste 

 invariable dans une deformation continue. II faudra que 



oR ox 



oR ox 



8R 



8y 



oR oy 



oR oz 



oR oz 



8v Zu 



ou ov 





 ov 



5> 

 OU 



ou ov 



OV ou 



OM ov 



., > , , 8R S6 8R 80 , . . . 



ou, d une maniere generale, •=— -^ --, »i etant une solution 



ov ow ow ov 



quelconque de (1), satisfasse a une equation de Laplace â invari- 

 ants egaux. Or, cette condition exige que R soit une solution de 

 (4). Par consequent, ou bien A = B = o et, en vertu de (3), C — o, 

 et alors on se trouve dans le cas 2 ; ou bien on se trouve dans le 

 cas 5 . Ce sont la Ies seuls cas qui conduisent â des reseaux con- 

 jugues invariables dans une deformation continue. Le cas 5 est 

 tres difficile a etudier. Je vais donner sur le cas 2 quelques aper- 

 cus generaux. 



»J'ai deja demontre (Bulletin de M. Darboux, 1900) que l'equa- 

 tion (1), si A = B = C = o, conduit, â l'aide de la transformation 



8R Se oR 86 



W "Ă — r\ S — V 1 



OV OU btl OV 



â une equation de Laplace â invariants egaux, A l'aide des re- 

 sultats que j'ai communiques a une autre occasion (Comptes ren- 

 dus, septembre 1900), on demontre que, pour la recherche des 

 reseaux que nous avons en vue, on peut prendre, â la place de 

 l'equation generale (1) pour laquelle ona A — B = C := o, l'equa- 

 tion suivante 



x 8 2 o , se se 



2 (u — v) ^ — sr -f- -s s- = Q. 



ou ov ou 6v 



