242 BULETINUL SOCIETĂŢII ROMÂNE DE ŞTUNŢE 



pour obtenir immediatement l'equation integrale : 



(4) 9(x)— £''A(x)G2(xs)cp(s)ds=f(x)+ A(x)[Cix + C^]. 



Pour mettre en evidence l'intervalle ab que nous aurons a con- 

 siderer, nous avons introduit Ies noyaux bris^s relatifs G|(xy) et 

 Gg (xy) que nous avons definis anterieurement ^). 



L'equation integrale (4) â deux constantes arbîtraires C| et C^ 

 est entierement equivalente â l'equation differentielle (3). 



Pour obtenir maintenant l'equation integrale relative aux condi- 

 tions (2), nous determinerons Ies constantes Cj et Cq, a l'aide des 

 relations (3') de sorte que Ies conditions bilocales (2) soient ve- 

 rifiees. 



Or on a : 



I rh( a+b \ I rhVâ+h 1 



^^'^^"^2 ja l^s--!- I?(s)ds+Cia4-C2 y(b)=2 j^ j^^— sJ9(s)ds+Cib+C2 



En ecrivant que ces expressions verifient la premiere des con- 

 ditions (2), on obtient : 



a rh[ a+bl ^ , 8 rbfa+b 1 a' rh B' rh 



+a[C'a+Cj]+Ş[C,b+C,]+a'C,+Ş',C,-Y=o 

 Ou encore, en ordonnant : 



a+b 



rb , ,. a+D rb 



(5) (a-Ş)/ scp(s)ds- (a-|3)+a-p' / (p(s)ds+2Ci[aa+bfH-a'+f('] 



-|-2C2(a+P)— 2Cp=0 



La seconde relation (2') est absolument analogue s' obtient de 

 celle-ci, en mettant l'indice aux lettres a, p, a' et p'. 



Toute la question revient des lors â l'etude du systeme (5). 



rh 



Resolvons le systeme (5) par rapport aux quantites / 9(s)ds 



rb 



et / s(p(s)ds. 



1) Tb, Lalesgo. Sur une suite de noyaux remarquables. BuUetin de l' Acad imit Roumaine 

 '915. P. 327- 



