244 BULETINUL SOCIETĂŢII ROMÂNE DE ŞTIINŢE 



c'est-â-dire 



- (a+b) |«fl| - |a-p, x'W\ -= - (a-f-b |ap| + |a+p, a'-p'| 

 D'ou resulte la condition : 



(8) |aa'| = pp'|. 



Donc la condition necessaire et suffisante pour que le no- 

 yau soit symetrique est que Von ait : 



\aa'\ = m 



Cette condition peut encore âtre mise sous une forme plus 

 simple. En effet, distinguons deux cas, sui vânt que la valeur com- 

 mune de |aa'| et |p(3'| est ou non differente de z€ro. 



Dans le dernier cas, nous pouvons resoudre Ies conditions (2) 

 par rapport â y(a) et y'(a), de sorte que Ies conditions (2) pren- 

 nent la forme : 



y(a)=ly(b) + my'(b)+n 

 y'(a)=l,y(b)+my(b) + n, 



et la condition de simetrie (8) devient : 



|lm| = I 



Si |aa'| = IPp'l ^= o, Ies conditions (2) peuvent etre mises sous 

 la forme : 



l[y(a)-hy'(a}]+m[y(b)-Hy'(b)]^n 



ll[y (a)-hy'(a) -i-m,[y(b) - Hy'(b)]^n , 



qui nous donnent 



y(a)-hy'(a)=hj 



y(b)-Hy'(b)==H, 



et nous reconnaissons ici Ies conditions qui definissent Ies fonc- 

 tions de Sturm-Liouville. 



En resume, nous pouvons enoncer le r^sultat suivant : 

 Tout probleme bilocal definissant une fonction Sturm-Ltuo- 

 viile, ou consistant dans une transformation automorphe de 

 y(x) et y'(x), d'une extremite ă Vautre de Vintervalle, conduit 

 ă une equation ă noyau symetrique ou polaire *). 



') Rappelons que nous couservons le terme de noyau polaire introduit par l'ccole de 

 Mr. Ililbert pour designer un noyau de la forme A(x)G(xy), G(xy) etant symetrique. 



