BULETINUL SOCIETĂŢII ROMÂNE DE ŞTIINŢE 247 



Yp=Jx2A(x)Hp_x(xy)A(y)y2 dx dy 



La forme des noyaux S (xy) nous montre immediatement deux 

 autres categories de problemes qui conduisent â des noyaux syme- 

 trisables : 



Lorsque Ies conditions (2) se reduisent â : 



ou 



j?(s) ds=Y C^=y' 

 js9(s) ds=Y C^=Y 



Dans ces cas^ le noyau du probleme est un determinant du 

 second ordre qui se presente sous l'une des formes : 



A(x)G2(xy) A(x) 



/A(x)G2(xy) dx /A(x) dx 



et 



A(x)G2(xy) xA(x) 



/xA(x)G2(xy) dx fxA{x) dx 



Ces deux noyaux sont evidemment symetrisables par Go2(xy) 

 et donnent lieu â une etude absolument identique a la precedente. 



6. II reste maintenant â caracteriser sur la forme (2) des con- 

 ditions bilocales generales, Ies cas que nous venons de signaler. 



i^ Les cas : 



/s9(s) ds=Y /cp(s) ds=:Y' 

 se presente lorsque : 



- aa+bp-|-a' + (3'=aai-|-bfli4-a/+|^l'=a + p=a,-|-fli=o 

 ce qui nous donne Ies relations : 



a'+P'=a(b— a) a/+P/=ai(b— a) 



Les coefficients a et a.^ ne peuvent etre nuls â la fois, parce que 

 on aurait alors &.'= — P' et a^'= — ^\ et les conditions (2) se 

 reduiraient â une seule ou seraient incompatibles. 



Si l'un d'eux est nul, par exemple a=o, les conditions (2) de- 

 viennent : 



y'(a)-/(b)=h 



y(a)-3;(b)=X/(a)+(x (X^o) 



