4 XXX. K. Zahradník'. ■ 



Im folgendem wollen wir die Konstmktioiiselemente g und C, 

 allgemein für eine gegebene rationale Kurve dritter Ordnung be- 

 stimmen, d. i. deren Konstruktion als einer Zissoidale und nachher 

 die Konstruktionselemente für einzelne bekannte rationale Kuiven 

 dritter Ordnung als Zissoidalkurven angeben. 



Rationale Kurve dritter Ordnung als Zissoidale. 

 5. Ist 



C3 E^ U^ -\- U., = 



die Gleichung einer rationalen Kurve dritter Ordnung, wo w„ eine 

 binäre Form w-ter Ordnung in x, y ist, ferner 



anX-\-bnP -\- Cn — 



eine ihrer Asymptoten, und setzen wir 



Ai 



-^ — a„x- -^ßnXij-^ y„f, (7) 



anX 4- b„î/ 



u.^ ziz Ix" -\- mxy -f- w^^, 



dann ist 



C3 = {ünX -\- hnV + C,.) {a,rX- f ßnXy + yny'^)- [ßvPC + &„ y) {ÔnX + £„?/) = 0. 



Die Koefficienten i)'„, £„ bestimmen sich aus der Identität 

 aus welcher folgt 



UnC,i — üna = l 

 ßnCn — hnán — ClnSn = W (8) 



vorausgesetzt, dass die Determinante des Systems 



: . zJ — bla^ — anb„ßn-{- alyn 



nicht verschwindet, d. i. dass die Kurve Q keine zwei paralélle 

 Asymptoten besitzt. ^) 



Die Konstruktionselemente sind hier ' 



g=anX-^b„y-{'Cn:=zO .^ 



C^ = anX-\- ßnxy-j-Y„y--\-a„x-{-e„y = 0. 



Hat nun die rationale Kurve dritter Ordnung Cy sämtliche 

 Asymptoten reell, also 



M3 = {a,x 4- b^y) (a.^x -f b^y) {a^x -f- b.,y), . , 



3) Vergleiche Art. 4. 



