Zur konstruktiven Auflösung der Gleichungen 2., 3. und 4. Grades. 5 



Eine solche Gerade n schneidet auf der sc-Achse die Strecke 

 OL = — s 2 , auf der y- Achse die Strecke OM= — .s 3 ab. Daraus 

 ergibt sich folgende Konstruktion von n (Fig. 2). 



Wir wählen auf der positiven Seite vou x deu Einheitspunkt 

 E\ setzen also ÖEzrzl und tragen auf die Achse y die Strecke 

 OK = z . OE = z auf; alsdann schneidet die Senkrechte l in K zu 

 EK die Achse x im Punkte L, für welchen OL = — s 2 ist ; infolge- 

 dessen geht die Gerade » durch L parallel zu EK. 



Ändert sich 0, so ändert l seine Lage und hüllt eine Parabel u 

 ein, welche E zum Brennpunkt und y zur Scheiteltangente hat, während 

 u die Kurve h einhült. 



Für den Berührungspunkt G von l mit u ist K G =z LK. Es 

 schneide nun (?£" die Gerade n in #, und führen wir durch H die 

 Parallele tzal, welche von KE im Punkte iV und von x im Punkte J 

 geschnitten werden möge. Schliesslich ziehen wir durch N die Paral- 

 lele v zu y und bezeichnen den Punkt v.x mit S. 



Da £" die Entfernung zwischen y und v halbiert, so folgt daraus, 

 dass wenn K sich auf y bewegt, N auf v verbleibt, so dass t eine 

 Parabel k umhüllt und da NH = JN ist, so ist !ff Berührungspunkt 

 von t mit Ä, weshalb n eine Normale von Je ist. 



Die Isopletheu ?» sind also Normalen von h ; sie umhüllen somit 

 eine Neil'sche Parabel, deren Gleichung 



ist, wie sich aus (3) ergibt und was auch die Konstruktion bestätigt. 

 Denn den Berührungspunkt 7 von n mit /* erhält man als den 

 zu H gehörigen Krümmungsmittelpunkt von ä, indem man l mit der durch 

 H zu x gezogenen Parallelen im Punkte U schneidet, worauf V sich 

 als Schnitt von n mit der durch U auf x gefällten Senkrechten ergibt. 

 Bezeichnet V den Fusspunkt dieser Senkrechten so sind die Dreiecke 



KOL, UV Q L ähnlich gelegen mit dem Ähnlichkeits Verhältnisse x- . 



Es ist also LV d ~ — 2z\ ÜV — 2z und somit V V=2s s . 

 Daraus erhält man für h die parametrisebe Darstellung 



x = — 3-s 2 , y = 2s 3 , 

 aus der wieder die Gleichung (7) folgt. 



