Zur konstruktiven Auflösung der Gleichungen 2,, 3. und 4. Grades. 9 



Hier sei betont, dass die Zurückführüng der Auflösung von 

 kubischen Gleichungen auf das Norinalenprobletn der gemeinen Pa- 

 rabel zuerst Gei'gonne auf rein aualytisclieiu Wege, geleitet vou 

 anderen Gesichtspunkten, entwickelt hat. 1 ) Die Ableitung des Kreises 

 c, welcher die Normalenfusspunkte H u Ho, K A verbindet gab auf 

 analytischem Wege zuerst wohl M. Bérard. 2 ) 



5. Oft geschieht es, dass von den Schnittpunkten H n H ZJ H 3 

 von c mit der Parabel k nicht alle mit hinreichender Genauigkeit 

 graphisch zum Ausdrucke gebracht werden können, weil einzelne 

 Winkel, unter denen sich c und k schneiden, verhältnismässig 

 klein sind. Eine genauere graphische Ermittelung erhalten wir da 

 auf Grund der Beziehung, dass die Wechselsehnen, welche die 4 Schnitt- 

 punkte c.k verbinden, zur Achse x antiparallel sind. 



Erhält man also in der graphischen Darstellung zwei von den 

 Schnittpunkten, etwa H u IL mit hinreichender Genauigkeit, den 

 dritten H 3 aber nicht, so führen wir durch S die Gerade p, welche 

 zur Geraden H 1 H 2 inbezug auf x antiparallel ist; alsdann kann 

 H. Ä als Schnitt von p mit c (oder auch mit k) hinreichend genau 

 zum Ausdrucke gebracht werden. 



Erhält man aber nur einen von den Schnittpunkten, etwa iT 15 

 genau, so denken wir uns durch H } und *S Y einen Kreisbüschel (c). 

 Die zu H r S gehörigen Wechselsehnen von k und den Kreisen des 

 Büschels bilden einen Parallelstrahlenbüschel, der projektiv ist zur 

 Reihe der zugehörigen Mittelpunkte M von Kreisen des Büschels. 

 Auf Grund dessen kaun man die zu H^ gehörige Wechselsehne p von 

 c und k ermitteln. 



Einfach erhalten wir p, wenn wir berücksichtigen, dass jeder 

 Kreis c, der durch S geht, die Parabel k in drei Punkten H x , H 2 , H 3 

 schneidet, deren Normalen durch einen Punkt R gehen. Denn kon- 

 struieren wir R als Schnittpunkt der Normalen in zwei von den 

 Punkten II, etwa H iy H 2 und lösen für diesen Punkt das Normalen- 

 problem, so sehen wir, dass der lösende Kreis eben c ist, weil er ja 

 durch die Punkte 7/ L , H. 2 , S eindeutig bestimmt ist; folglich ist die 

 dritte Normale RH 3 . Demnach liegt der gemeinschaftliche Schnitt- 

 punkt der Parabelnormalen in den Punkten R, welche ein beliebiger 



') lu seinen Annales de mathématiques pures et appl. T. IX, 1818 — 19 (Nismes) 

 p. 201 u. fl. (De la résolution des équations numériques du 3 rae degré par la 

 parabole ordinaire.) 



'-) F. M. Bérard : Opuscules mathématiques et Méthodes nouvelles pour 

 déterminer les racines des équations numériques, p. 109. 



