Zur konstruktiven Auflösung der Gleichungen 2., 3. und 4. Grades. 13 



Die gegebene konstruktive Darstellung der Wurzeln von Glei- 

 chungen 2., 3. und 4. Grades ist sehr einfach und kann deshalb bei 

 der Auflösung derartiger mmiinerischen Gleichungen zum de eisten 

 Ansatz mit Vorteil verwendet werden. 



Dabei werden die zu suchenden Wurzeln z durch AZ, 

 resp. -r- 1 worin l eine ganze Zahl bedeutet, ersetzt und die dadurch 



aus der gegebenen hervorgehende Gleichung statt dieser gelöst, wenn 

 die Schnittpunkte c . Je zu nah an S oder zu weit von S zu liegen 

 kämen. 



8. Fassen wir das gewonnene Ergebnis zusammen, so haben 

 wir (Fig. 4) folgende Konstruktion für die Auflösung der Gleichung 

 (13) mit Hilfe einer Parabel Je. 



Wir wählen zunächst die Einheit gleich der Entfernung des 



Brennpunktes E vom Scheitel S der Parabel, nehmen die Achse von h 



als #-Achse, die Senkrechte zu ihr durch den Krümmungsmittel >- 



punkt des Scheitels als «/-Achse an. Vom Halbierungspunkt E l der 



g 

 Strecke ES tragen wir auf x die Strecke E X C — -»- auf und beschrei- 



lu 



ben um G als Mittelpunkt den durch E gehenden Kreis; ist / ein 

 Schnittpunkt dieses Kreises mit der Scheiteltangente der Parabel, so 

 ist SI' r= s . OE — s. Hierauf beschreiben wir mit dem Halbmesser SI 

 um S den Kreis k n . Weiter haben wir zu unterscheiden ob s positiv 



oder negativ ist. Im ersten Falle ist / der aus den Punkt M 1-^- -j-\ 



beschriebene Orthogonalkreis von h at im zweiten Falle schneidet / 

 den Kreis k a diametral. 



Durch den Kreis / ist nun die verlangte Auflösung gegeben. 



9. Wenn zwei von den Schnittpunkten Li in L* zusammen- 

 fallen, dann hat die Gleichung (13) eine Doppelwurzel; in einem 

 solchen Falle berührt der Kreis / die Parabel Je in L A und ML% ist 



eine Normale derselben, welche durch den Punkt M 



(flK 



Da die Normalen durch einen Punkt (x | y) die Wurzeln der kubischen 

 Gleichung z 3 -(- xz -f- y =r darstellen, so folgt daraus, dass unsere 

 Doppelwurzel der Gleichung (13) zugleich eine Wurzel der Gleichung 



3 3 -f4r* + -^--0 (19) 



'2 4 



sein müsse. 



