14 XXXIÍ. J. Sobotka :- 



Die Gleichung (19) stellt also die Bedingung für eine Doppel- 

 wurzel der Gleichung (13) dar. Eliminieren wir z aus (19) und (13), 

 so erhalten wir die Bedingungsgleichung, welcher p, q, s genügen 

 müssen, damit eine Doppelwurzel eintrifft. 



Unsere Konstruktion lässt uns gleichfalls diese Bedingungs- 

 gleichung gewinnen und liefert eine geometrische Deutung derselben. 



Sämtliche biquadratischen Gleichungen von der Form (13) mit 

 Doppelwurzeln werden nach dem Gesagten durch die Kreise / zum 

 Ausdruck gebracht, welche h berühren. Betrachten wir diese Kreise 

 als cyklographische Bilder von Raumpunkten ; repräsentieren also 

 jeden Kreis / durch ein Punktepaar M e> M a> welches auf dem durch 

 den Kreismittelpunkt M gehenden Lote zur Konstruktionsebene liegt und 

 für welches die Strecken MMe = M a M gleich dem Halbmesser des 

 Kreises sind. 



Die Gesamtheit der Punkte M e , M a wird eine Fläche A bilden. Alle 

 Punkte derselben, deren Orthogonalprojektionen in der Konstruktions- 

 ebene auf einer Normalen von Je liegen, bilden zwei Gerade, welche 

 durch den Fusspunkt L* der Normalen gehen und zur Konstruktions- 

 ebene unter halben Ptechten geneigt sind. Es ist also A eine Fläche 

 gleichen Gefälles gegen unsere Ebene, somit die Tangentenfläche einer 

 räumlichen Parabelevolute, die sich in die ebene Evolute der Parabel 

 projiciert. 



Die Gleichung von A kann, wie folgt, abgeleitet werden. 



Es habe irgend ein Punkt M LJ dieser Fläche die Coordinaten 

 X, F, Z. Zunächst ist 



sind also x, y die Coordinaten von L*, welche durch die Gleichung 



,/- = 4(x — 2) (9) 



der "Parabel h verbunden sind, so ist 



(F — y) a -f- (X— x) 2 — Z 2 = Q. (20) 



Da die Gerade ML^ zu h normal ist, so besitzt sie die Gleichung 



Y—y-^(X—x)-0. (21) 



Die Gleichung von A erhalten wir durch Elimination von x 

 und y aus den Gleichungen (9), (20), (21). ■■- 



