Zur konstruktiven Auflösung der Gleichungen 2., 3. und 4. Grades. 17 



Unser Schnitt zerfallt also in die doppeltzuzählende Parabel Je, 

 wie zu erwarten war und in zwei Gerade 



x — l±i±iý í 



welche sich offenbar ergeben als die Schnittgeraden des Kegels 



(x— \y-{-f — 3 2 — o 



mit der Konstruktionsebene; es sind dies die Normalentangenten 

 von E an Je. 



10. Die Fläche A ist somit konstruktiv und analytisch hin- 

 reichend bestimmt. 



Für ein bestimmtes s führt unsere Auflösung zu einem be- 

 stimmten Kreise Je a und die zugehörigen Kreise f schneiden diesen 

 entweder orthogonal, wenn s positiv, oder diametral, wenïi s negativ 

 ist. Die Punkte M s , M a , welche diese Kreise repräsentieren, bilden 

 im ersten Falle ein einschaliges Rotationshyperboloid B n welches Jca 

 zum Kehlkreise hat und dessen Gerade unter einem halben Rechten 

 gegen die Konstruktionsebene geneigt sind, im zweiten Falle ein 

 zweischaliges Rotationshyperboloid B.,, welches zu B t inbezug auf 

 den gemeinsamen Mittelpunkt conjugiert ist. Jede von diesen beiden 

 Flächen besitzt somit die Gleichung 



s — (x — 2) 2 4-p 2 — z 1 . (27) 



Die Punkte M s , welche einem gegebenen s zugehören, bilden 

 demnach die Durchdringungskurve der Fläche A mit dem durch (27) 

 ausgedrückten Hyperboloid. Die zugehörigen Punkte M bilden sonach 

 die Orthogonal projection dieser Kurve in die Konstruktionsebene. 

 Wir erhalten die Gleichung dieser Projection, wenn wir aus (24) 

 und (27) das s eliminieren. Dieselbe ist also 



(Qf _|_ x * _ xs y _ (s« _^ 3 S ) [[2xtj 2 -f (x 2 — sy] — 0. (28) 



P Q 



Setzen wir in diese Gleichung x — j^, y =z -- als Koordinaten 



von M ein, so kommt die verlangte Bedingungsgleichung für eine 

 Doppelwurzel zum Vorschein, nämlich 



(29) 



[% 2 -\ 2p (p 2 - 4s)]- — 4 Qr + 1 2s) [C>pq 2 4- ( 2 r — 4s) 2 ] = 0. 



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