lg XXXIII. J. Sobotka: 



11. Eine Doppelwurzel Zvon (13) ist auch eine Wurzel der 

 Gleichung 



Z 3 +|z+| = 0. (19) 



Sind % (*='l, 2, 3), die Wurzeln von (19), so hat (13) eine 

 Doppelwurzel, wenn s einen der Werte annimmt, 



ii = ~ m +pZl + qZt) ~ - Z t || Zi + |gj , 

 und bezeichnet r ť den zu Z ž gehörenden Halbmesser von /, so ist 



Daraus folgern wir für die Realität der Wurzeln von (13) aus 

 unserer Konstruktion Nachstehendes. 



a) Die Gleichung (19) besitzt nur eine reelle Wurzel, wenn 



— - -f- 4- ^> 0, wobei a?, ?/ die Koordinaten des entsprechenden Punktes M 



bedeuten; da ic = ^r, y = -^, so haben wir nur eine reelle Wurzel Z t 

 wenn 



27^ 8 S 



Ist diese Bedingung erfüllt, so besitzt (14) lauter imaginäre 

 Wurzeln, wenn r<Cr 1 , also s ~> s l ist, zwei reelle, zwei conjugiert 

 imaginäre, wenn s<is l , währeud für s = s 1 man eine reelle Doppel- 

 wurzel und zwei conjugiert imaginäre Wurzeln bekommt. 



b) Ist 



,3 



2-Jl. 2"<-o 



so hat (19) drei reelle verschiedene Wurzeln Zi\ ordnen wir die ent- 

 sprechenden s so an, dass s,r>s., ~> s s , so wird r L <Zr 2 <.r 3 . Daun 

 hat (13) lauter imaginäre Wurzeln, für s >• s, zwei reelle, zwei 

 imaginäre für s l >s>s 2 , lauter reelle für s. 2 ~> s*> s. v während für 

 s <z s 3 sie wieder zwei imaginäre und zwei reelle Wurzeln besitzt. Die 



