Zur konstruktiven Auflösung der Gleichungen 2., 3. und 4. Grades. 19 



Übergänge zwischen den einzelnen Fällen erfolgen durch Doppel- 

 wurzeln. 



c) Ist schliesslich 



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so hat man entweder lauter imaginäre, oder zwei reelle, zwei imagi- 

 näre Wurzeln, worüber sowie über die entsprechenden Übergänge 

 ohneweiters analog entschieden wird. 



12. Betrachten wir auch für die biquadratische Gleichung die- 

 jenigen Fälle, in denen bei der graphischen Darstellung der Kon- 

 struktion einzelne Schnittpunkte von / mit Je nicht mit erforderlicher 

 Sicherheit zum Ausdrucke gelangen. Wir unterscheiden hier drei Fälle, 

 je nachdem a) eine, b) zwei, c) drei Wurzeln von diesem Umstand 

 betroffen werden. (Fig. 5). 



a) Sind die Schnittpunkte L iy Z 3 , L. } von / mit Je bestimmt, so 

 findet man den vierten Z 4 , indem wir die inbezug auf x symmetrische 

 Gerade zu einer Seite des Dreiecks L^LJL,.^ etwa die zu L. 2 L, 

 symmetrische Gerade L. 2 +L s ~, ermitteln und zu ihr durch den dieser 

 Seite gegenüberliegenden Eckpunkt, hier L v die Parallele ziehen. 

 Diese Parallele schneidet / weiter im gesuchten Punkt L A . Fällen 

 wir die Senkrechte zu ihr vom Mittelpunkte M des Kreises / und 

 ist a der Fusspunkt derselben, so erhalten wir L 4 auch aus der Gleich- 

 heit «L 4 =■ L v a. 



b) Sind die Schnittpunkte L. 2 , L 3 bestimmt, so verfahren wir wie 

 im Art. 6, um die Gerade p, welche die übrigen zwei Punkte L x , L i 

 verbindet, zu erhalten. Wir führen also durch den Mittelpunkt 1 von 

 L 2 +L 3 + die Parallele a zu x und fällen das Lot von M auf L 2 +L 3 + 

 welches a im Punkte a treffen möge; alsdann ist p die durch a zu 

 L 2 +L 3 ^ gezogene Parallele. Selbstverständlich gilt diese Konstruktion 

 auch dann, wenn L v L i nicht reell sind, worauf wir noch zurück- 

 kommen. 



c) Es sei bloss einer von den Schnittpunkten L x bestimmt, dann 

 führt die Bestimmung der übrigen drei zur Auflösung einer kubi- 

 schen Gleichung. Ist s x die dem Punkte L l gehörige Wurzel von 

 (13), so erhalten wir diese kubische Gleichung, indem wir die linke 

 Seite von (13) durch {? — #,_) dividieren; es wird also die Gleichung 

 zu lösen sein 



z* + v 2 -f (P + *) ■» -{- {B\ +P\ + q) =-0, (30) - 



