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Von -diesem Fall bildet die Auflösung, der kubischen Gleichung 

 (6) mit zwei, imaginären Wurzeln einen Sonderfall, der eintritt,- wenn 

 L 3 nach S fällt, wodurch die soeben gegebene Konstruktion aufrecht 

 bleibt. 



Kennen wir eine von den zwei reellen Wurzeln der biquadra- 

 tischen Gleichung (13) und konstruieren die weiteren Wurzeln der 

 Gleichung durch Zurückführung auf die kubische Gleichung (32), .so 

 trifft der entsprechende Kreis v (Fig. 5) die Parabel k ausser in S 

 nur noch in einem Punkte J L . Ist J-+ sein symmetrischer bezüglich 

 x und c die Parallele zu x durch die Mitte 3 von SJ+ so gehört 

 der Schnittpunkt H von c mit dem zu SJ^ senkrechten Durchmesser 

 des Kreises v der Sehne an, welche die beiden imaginären Schnitt- 

 punkte von v mit k verbindet. Ist HT die Länge der Tangenten von 

 H an v, und überträgt man dieselbe auf diese Sehne von H oder 

 auf SJ.+ von 3 aus, so gibt die Orthogoualprojektion auf m der so 

 übertragenen Strecke den absoluten Betrag des imaginären Teiles 

 der beiden noch gesuchten Wurzeln von (32). Anstatt dies durch- 

 zuführen tragen wir HT auf die Gerade SJ X + von ihrem Schnitt- 

 punkt % mit b aus nach ra auf, so ist die Projektion von a identisch 

 mit C, so dass y, g", C in einer Parallelen zu x liegeu. Dabei 

 muss die Entfernung H^H des Punktes H von b offenbar gleich 



rj- sein. 



o 



17. Schliesslich möge der Fall behandelt werden, in welchem alle 

 Wurzeln der biquadratischen Gleichung (13) imaginär sind und der 

 lösende Kreis / mit dem Mittelpunkte M die Parabel k überhaupt 

 nicht reell schneidet. (Fig. 6.) 1 ) 



Die vier Wurzeln sind zu zweien konjugiert imaginär, was auch 

 von den vier Schnittpunkten L i: L. 2 , L 3 , L 4 gleichfalls gilt; es seien 

 also L ± , L± und ebenso L 3 , L i conjugiert imaginär. Daher lassen 

 sich zwei reelle Geraden p, q konstruieren von denen eine die Punkte 

 L x , L %! die andere die Punkte L A , L A verbindet. 



Um zu diesen Geraden zu gelangen konstruieren wir zuerst das 

 gemeinsame Polardreieck XYZ der Parabel k und des Kreises /, 

 ohne dass wir genötigt sind einen neuen Hilfskegelschnitt zu benützen. 



*) Bedeuten p, q, s absolute Werte, so bringt die Figur die Gleichung 

 z 1 — pz 2 -\- qz -{- 8 — Q zur Darstellung. 



