Zur konstruktiven Auflösung der Gleichungen 2., 3. und 4. Grades. 27 



Wir wenden hier eine Konstruktion an ; die bei einer anderen Gelegen- 

 heit entwickelt worden ist. 1 ) 



Diesbezüglich legen wir den Kegelschnitt b fest, welcher der 

 unendlich fernen Geraden der Ebene in dem Büschel (Je, /) conjugiert 

 ist. Dieser Kegelschnitt b ist eine gleichseitige Hyperbel welche x 

 zu einer Asymptote hat und durch M geht. Zu ihrer vollständigen 

 Bestimmung ist die Ermittelung eines weiteren Punktes Q hinreichend. 

 Denken wir uns den Punkt A der Parabel Je, welcher auf der Ordinate 

 des Brennpunktes E von Je liegt, sowie die Tangente in A an Je und 

 ermitteln Q als den zum unendlich fernen Punkte dieser Tangente 

 konjugierten Punkt. Er liegt somit auf dem zu x parallelen Durch- 

 messer Aa von Je und auf dem zu der erwähnten Tangente senkrechten, 

 zu den Achsen x, y gleichgeneigten Durchmesser von /. 



Es ist also MQ parallel zur Nebenachse von C und die Haupt- 

 achse von b ist parallel zu der erwähnten Tangente. Wird also die 

 Parallele zu y durch M von Aa in a, von x in ß geschnitten, und 

 trägt man die Strecke ßa von ß gegen nach ßB auf, so ist B der 

 Mittelpunkt der Hyperbel 6, deren zweite Asymptote a \\y mitbe- 

 stimmt ist. 



Nun können wir den Kreis u konstruieren, welcher dem Drei- 

 eck XYZ umschrieben ist. Die Polare von b inbezug auf / ist eine 

 Parabel, und ebenso ist die Polare von b inbezug auf Je eine Pa- 

 rabel ; der Kreis u geht durch die Brennpunkte C x , C\' beider 

 Parabeln und hat seinen Mittelpunkt U auf der Leitgeraden w von Je. 

 Ist A 1 der Pol von a inbezug auf /, so berührt MA 1 die erste 

 Parabel in A 1 und die zweite Tangente derselben Mß durch M ist 

 zu MA 1 senkrecht; es liegt also M auf der Leitlinie dieser Parabel, 

 welche somit mit der Tangente in M an b zusammenfällt, woraus 

 folgt, dass MB durch den Brennpunkt G ± geht; es ist also C\ der 

 Fusspunkt der Senkrechten von A i auf MB. Macht man noch auf 

 dieser Geraden BD 1 =z MB, so liegt D ] gleichfalls auf dem Kreise u, 

 wodurch derselbe sogar ohne Benützung der zweiten Parabel hin- 

 reichend bestimmt ist. Wir bemerken nur, dass diese zweite Parabel x 

 zur Scheiteltangente hat und ihr Scheitel A 2 der Pol von a inbezug 

 auf Je ist. 



Weiter denken wir durch die Ecken des Polardreieckes XYZ 

 die zu Je ähnlich gelegene Parabel n. Dieselbe geht durch die Be- 



2 ) Sitzungsber. der k. Akad. der Wissensch. in Wien 1900. Bd. CIX: Zur 

 Perspektive des Kreises und anschliessend zur Konstruktion der Axen und Kreis- 

 schnitte für Flächen 2 Grades; insbesondere Art. 19. 



