4 XXXVII. K. Petr: 



Vergleicht man die verschiedenen Resultate, welche wir für das 

 Quadrat der einzigen reellen Wurzel erhalten haben, so hat man 

 sofort die Gauss'sche Relation : 



®l (0, 3 r) - ®\ (o, 0i 2 = pi _ 4 fpj^ \i 



Weiter findet man : 

 iL 01 (0, 3.) - •• (0, T -±l) j =P< - 4 «• (»11)* 



iL ei ,0, 3r) - 0| (o, ^±- 4 )j =** — *« (Ž|l)1 



was man leicht mittels der Reihenentwickelung der Thetafunktionen 

 bestätigt. 



Durch die Kombination der drei von einander nicht unab- 

 hängigen Resultate gewinnt man die Beziehung 



PP [Pl-SP PJ r 3P"]=p\ 



welche zusammen mit der Gauss'schen Formel den obigen Gleichungen 

 völlig äquivalent ist. 



Wie ich schon oben bemerkte, haben die Beziehungen (7) und 

 (2) interessante Folgerungen in der Zahlentheorie. Ich will zeigen, 

 dass man mit Hilfe derselben die Anzahl der Lösungen in ganzen 

 Zahlen für folgende Gleichungen bestimmen kann: 



x 1 4- y 2 -f 9 (s 2 + w 2 ) = N, 

 ^ _j_ ^2 _j_ > _j_ 9 U 2 _ Nf 



x* _j_ 9 y 2 -f 9 z 1 -f 9 u- = N. 



Bezeichnet man die Anzahl der Lösungen dieser Gleichungen 

 der Reihe nach mit q> (N), 1>'(N), i>' (N) und die bekannte Anzahl 

 der Lösungen von der Gleichung 



x 2 + y* + * 2 + u 1 

 mit % (N), so erhält man zuerst aus der Formel von Gauss: 



