Bemerkung zu einer Gauss'schen Formel über die Thetafunktionen. 5 



1. Wenn N nicht durch 3 theilbar ist : 



V(N)=G 



3x -f y ~ 



%{N) +i6 2:(— i) E e x 



Das Summenzeichen bezieht sich auf alle Lösungen der Glei- 

 chung 



3 x 2 -f y 2 = 4 N 

 mit ganzen ungeraden und positiven Zahlen. 



2. Wenn N durch eine ungerade Potenz von drei theilbar ist, 



qp (N) — 0. 



3. Wenn 2V durch eine gerade Potenz von 3 theilbar ist, 



<P (N) = z (-9) 



Aus der Formel (2) folgt weiter 



ý (xV) + 3 ^ (2V) — 3 qp (JV) = 0, 

 (3) wenn 2V durch 3 nicht theilbar ist, 



i, (N) + 3 *' (tf ) - 3 <p (N) = x (f ), 



wenn JV durch 3 theilbar ist. 

 Die Gleichung aber 



x 1 + 9 y 2 -f 9 £ 2 + 9 u 2 = N 



ist lösbar nur dann, wenn N ein quadratischer Rest von 9 ist ; 

 es muss also N mit einer von den vier Zahlen 1, 4, 7, congruent 

 sein. Aber in diesem Falle ist in der Gleichung 



% 2 + y- + 9 £ + 9 u 1 = N 



wenigstens eine von den beiden Zahlen x, y durch 3 theilbar. Woraus 

 folgt, dass 



i>' (JV) = \ <p (N), wenn N = 1, 4, 7 mod 9 



1>' (N) = % (^), wenn N=0 mod 9 



tb' (N) = in anderen Fällen. 



